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2015-2016学年山东省临沂市临沭县新华杯九年级（上）素养展示大赛数学试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）请将唯一正确的答案符号填在下面答题栏内.

1．已知二次函数y=x²-6x+m的最小值是-3，那么m的值等于（　　）
A．10 B．4 C．5 D．6
组卷：791引用：6难度：0.9
解析
2．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（　　）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
组卷：965引用：39难度：0.9
解析
3．已知命题“关于x的一元二次方程x²+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（　　）
A．b=-1 B．b=2 C．b=-2 D．b=0
组卷：450引用：75难度：0.9
解析
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（　　）
A．AD=DB B．
ˆ
AE
=
ˆ
EB
C．OD=1 D．AB=
3
组卷：411引用：27难度：0.5
解析
5．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）
A．20 B．12 C．14 D．13
组卷：3495引用：90难度：0.9
解析
6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（　　）
A．44° B．54° C．72° D．53°
组卷：1322引用：77难度：0.7
解析
7．已知点P（a,a+3）在抛物线y=x²-7x+19图象上，则点P关于原点O的对称点P′的坐标是（　　）
A．（4，7） B．（-4，-7） C．（4，-7） D．（-4，7）
组卷：86引用：4难度：0.9
解析
8．若A（-
13
4
，y₁），B（
-
5
4
，y₂），C（
1
4
，y₃）为二次函数y=x²+4x-5的图象上的三点，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　　）
A．y₁＜y₂＜y₃ B．y₂＜y₁＜y₃ C．y₃＜y₁＜y₂ D．y₁＜y₃＜y₂
组卷：1825引用：120难度：0.7
解析

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三、解答题（本题共6个小题，满分46分）

23．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．
（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD²+CE²=DE²．
同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；
小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）
小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；
请你从中任选一种方法进行证明；
（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD²+CE²=DE²仍然成立，先请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD²+CE²=DE²是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
组卷：2119引用：6难度：0.5
解析
24．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（2，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3），连接AB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．
组卷：255引用：3难度：0.5
解析