2023-2024学年四川省成都市树德中学高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．空间向量

  a

  =

  （

  1

  ，-

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  3

  ，

  x

  ）

  ，若

  a

  ⊥

  b

  ，则实数x=（　　）

  A．1

  B．-2

  C．0

  D．2
  组卷：47引用：2难度：0.7

  解析

• 2．已知直线的方程为xsinα-y+2=0，（α∈R），则该直线的倾斜角θ的取值范围是（　　）

  A． [ 0 ， π 4 ] ∪ （ π 2 ， 3 π 4 ]	B． [ 0 ， 3 π 4 ]
  C． [ π 4 ， 3 π 4 ]	D． [ 0 ， π 4 ] ∪ [ 3 π 4 ， π ）
  组卷：103引用：1难度：0.9

  解析

• 3．已知圆A的方程为x²+y²-4x-2y+1=0，圆B的方程为x²+y²+2x-10y+26-m=0，若圆A与圆B外切，则m的值为（　　）

  A．1

  B．9

  C．10

  D．16
  组卷：60引用：1难度：0.7

  解析

• 4．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC中，AC=AB=2，AC⊥AB，且CC₁=2，∠A₁AB=∠A₁AC=

  π

  3

  ，则线段BC₁的长度是（　　）

  A． 2 3

  B．3

  C． 3

  D．4
  组卷：60引用：1难度：0.5

  解析

• 5．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱AB，BC上的动点，且BN=AM，当三棱锥B₁-MNB的体积最大时，直线AB与平面B₁MN所成角的正弦值为（　　）

  A． 2 3

  B． - 2 3

  C． 5 3

  D． - 5 3
  组卷：82引用：2难度：0.5

  解析

• 6．已知圆C₁：（x+3）²+（y-5）²=1，圆C₂：（x-6）²+（y-3）²=4，M，N分别是圆C₁，C₂的动点，P为直线x-y-6=0上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）

  A．6

  B．10

  C．13

  D．16
  组卷：166引用：2难度：0.5

  解析

• 7．在Rt△ABC中，AB=BC=2

  2

  ，D为AC的中点．将△ABD沿BD进行旋转，得到三棱锥C-ABD，当二面角A-BD-C为

  2

  π

  3

  时，C-ABD的外接球的表面积为（　　）

  A．16π

  B． 40 3 π

  C．20π

  D． 32 3 π
  组卷：100引用：1难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使A到达A'，连接A'B，A'C，得到四棱锥A'-BCDE．
  
  （1）证明：DE⊥A'B；
  （2）当二面角A'-DE-B的平面角在

  [

  π

  4

  ，

  3

  π

  4

  ]

  内变化时，求直线A'C与平面A'DE所成角的正弦值的最大值．
  组卷：155引用：6难度：0.5

  解析

• 22．已知圆O：x²+y²=4和点M（2，4）．
  （1）过点M向圆O引切线，求切线的方程．
  （2）点N是圆O上任意一点，S在线段NM的延长线上，且点M是线段SN的中点，求S点运动的轨迹E的方程．
  （3）设圆O与x轴交于C，D两点，线段MO上的点T上满足

  16

  TC

  •

  DT

  =

  CM

  •

  MD

  ，若T∈直线l,且直线l与（2）中曲线E交于A，B两点，满足

  TA

  =

  3

  AB

  ．试探究是否存在这样的直线l,若存在，请说明理由并写出直线l的斜率，若不存在，请说明理由．
  组卷：47引用：1难度：0.5

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