2023-2024学年北京161中高三（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求。把正确答案涂写在答题卡上相应的位置。

• 1．已知集合A={0，1}，B={x∈N|0＜x＜3}，则A∪B=（　　）

  A．{1}

  B．{1，2}

  C．{0，1，2}

  D．{0，1，2，3}
  组卷：44引用：2难度：0.9

  解析

• 2．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）

  A．y=log2x

  B．y=2-x

  C． y = x + 1

  D．y=x3
  组卷：127引用：6难度：0.8

  解析

• 3．如果平面向量

  a

  =（2，0），

  b

  =（1，1），那么下列结论中正确的是（　　）

  A．| a |=| b |

  B． a • b =2 2

  C．（ a - b ）⊥ b

  D． a ∥ b
  组卷：437引用：14难度：0.9

  解析

• 4．“

  x

  ＜

  π

  4

  ”是“tanx＜1”的（　　）

  A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：42引用：4难度：0.7

  解析

• 5．已知复数z=a+i（a∈R），则下面结论正确的是（　　）

  A． z = - a + i

  B．|z|≥1

  C．z一定不是纯虚数

  D．在复平面上，z对应的点可能在第三象限
  组卷：253引用：5难度：0.8

  解析

• 6．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，离心率为

  3

  3

  ，过F₂的直线l交C于A、B两点，若△AF₁B的周长为4

  3

  ，则C的方程为（　　）

  A． x 2 3 + y 2 2 =1

  B． x 2 3 +y2=1

  C． x 2 12 + y 2 8 =1

  D． x 2 12 + y 2 4 =1
  组卷：8969引用：113难度：0.9

  解析

• 7．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式：C=Iⁿ•t,其中n为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数n,在电池容量不变的条件下，当放电电流I=20A时，放电时间t=20h；当放电电流I=50A时，放电时间t=5h.若计算时取lg2≈0.3，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（　　）

  A．1.67

  B．1.5

  C．2.5

  D．0.4
  组卷：264引用：13难度：0.6

  解析

三、解答题：本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在答题纸相应位置。

• 20．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  -

  a

  x

  2

  +

  x

  -

  1

  e

  x

  ．
  （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，-1）处的切线方程；
  （Ⅱ）当a＞0时，求f（x）的单调区间；
  （Ⅲ）求证：当a≤-1时，f（x）≥-e.
  组卷：499引用：3难度：0.5

  解析

• 21．设N为正整数，区间I_k=[a_k，a_k+1]（其中a_k∈R，k=1，2，…，N）同时满足下列两个条件：
  ①对任意x∈[0，100]，存在k使得x∈I_k；
  ②对任意k∈{1，2，…，N}，存在x∈[0，100]，使得x∉I_i（其中i=1，2，…，k-1，k+1，…，N）．
  （Ⅰ）判断a_k（k=1，2，…，N）能否等于k-1或

  k

  2

  -

  1

  ；（结论不需要证明）．
  （Ⅱ）求N的最小值；
  （Ⅲ）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不存在，说明理由．
  组卷：128引用：2难度：0.3

  解析