2016-2017学年北京市人大附中高二（下）期末数学试卷（理科）

一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分，请将正确答案填涂在答题纸上．）

• 1．设i是虚数单位，则

  1

  1

  -

  i

  3

  =（　　）

  A． 1 2 - 1 2 i

  B． 1 2 + 1 2 i

  C．1-i

  D．1+i
  组卷：9引用：2难度：0.8

  解析

• 2．在极坐标系中，点（1，

  π

  4

  ）与点（1，

  3

  π

  4

  ）的距离为（　　）

  A．1

  B． 2

  C． 3

  D． 5
  组卷：589引用：4难度：0.9

  解析

• 3．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（　　）

  A．1

  B．2

  C．-1

  D．-2
  组卷：2432引用：93难度：0.9

  解析

• 4．圆

  x = - 1 + 2 cosθ

  y = 1 + 2 sinθ

  （θ为参数）被直线y=0截得的劣弧长为（　　）

  A． 2 π 2

  B．π

  C． 2 2 π

  D．4π
  组卷：100引用：4难度：0.9

  解析

• 5．直线

  ρsin

  （

  θ

  +

  π

  4

  ）

  =

  4

  与圆

  ρ

  =

  4

  sin

  （

  θ

  +

  π

  4

  ）

  的位置关系是（　　）

  A．相交但不过圆心	B．相交且过圆心
  C．相切	D．相离
  组卷：29引用：2难度：0.8

  解析

• 6．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（　　）

  A．0.378

  B．0.3

  C．0.58

  D．0.958
  组卷：158引用：4难度：0.8

  解析

三、解答题（共六道小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

• 19．某校准备举办一次体操比赛，邀请三位评委（编号分别为1，2，3）打分，比赛采用10分制，评委的打分只能为正整数．据赛前了解，参赛选手均为中上水平，并无顶级选手参赛．已知各评委打分互不影响．并且评委i（i=1，2，3）一次打分与选手真实水平差异X₁，服从分布如下：
  

  X1	-1	0	1
  P	1 2	1 4	P1

  X2	-1	0	1
  P	1 4	1 2	P2

  X3	-1	0	1
  P	1 4	1 4	P3

  现有两个给分方案：
  方案一：从三位评委给分中随机抽一个分数作为选手分数；
  方案二：从三位评委给分中分别去掉最高分，去掉最低分，将剩下那个分数作为选手分数．
  （Ⅰ）P₁=

  ，P₂=

  ，P₃=

  ，评委

  水平最高；
  （Ⅱ）用随机变量X，Y分别表示使用方案一和方案二时选手得分与其真实水平差异，求X，Y的分布列；
  （Ⅲ）如果请你来决策，你会选哪种方案？请说明理由．
  组卷：16引用：1难度：0.5

  解析

• 20．设函数f（x）=2x³，

  g

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  x

  1

  3

  ．
  （1）令h（x）=f（x）-g（x），求证：函数h（x）只有-1，0，1三个零点．
  （2）若数列{a_n}（n∈N*）满足：a₁=a,f（a_n+1）=g（a_n）．求证：存在常数M，使得∀n∈N*，都有a_n≤M．
  组卷：29引用：1难度：0.4

  解析