2011年第2届“珥中杯”数学竞赛试卷（初三）

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

• 1．从分数组

  {

  1

  2

  ，

  1

  4

  ，

  1

  6

  ，

  1

  8

  ，

  1

  10

  ，

  1

  12

  }

  中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（　　）

  A． 1 4 与 1 8

  B． 1 4 与 1 10

  C． 1 8 与 1 10

  D． 1 8 与 1 12
  组卷：820引用：3难度：0.9

  解析

• 2．将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（　　）

  A．15

  B．18

  C．21

  D．24
  组卷：240引用：4难度：0.9

  解析

• 3．已知函数y=x²+

  1

  -

  x

  ，点P（x,y）在该函数的图象上．那么，点P（x,y）应在直角坐标平面的（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：485引用：4难度：0.9

  解析

• 4．一只盒子中有红球m个，白球10个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（　　）

  A．m+n=10

  B．m+n=5

  C．m=n=10

  D．m=2，n=3
  组卷：73引用：2难度：0.9

  解析

• 5．某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元）．旅游团领队交代：每人可选不同的菜，但金额都正好是10元，且每一种菜最多只能买一份．这样，该团成员中，购菜品种完全相同的至少有（　　）

  A．9人

  B．10人

  C．11人

  D．12人
  组卷：307引用：4难度：0.9

  解析

• 6．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（　　）

  A．∠1＞∠2

  B．∠1＜∠2

  C．∠1=∠2

  D．无法确定
  组卷：1854引用：6难度：0.9

  解析

• 7．如图，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA₁→A₁D₁→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB₁→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（　　）

  A．0

  B．1

  C． 2

  D． 3
  组卷：272引用：2难度：0.9

  解析

三、解答题（共5小题，满分70分）

• 20．如图，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC、AC交于D，E两点（D、E不与B、A重合）．
  （1）求证：MD=ME；
  （2）求四边形MDCE的面积；
  （3）若只将原题目中的“AC=BC=2”改为“BC=a,AC=b,（a≠b）”其它都不变，请你探究：MD和ME还相等吗？如果相等，请证明；如果不相等，请求出MD：ME的值．
  组卷：492引用：7难度：0.1

  解析

• 21．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A（8，0），C（0，6），点M是OA的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿x轴向右运动；点Q沿x轴先向左运动至原点O后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与矩形OABC重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）．
  （1）用含t的代数式表示点P的坐标；
  （2）分别求当t=1，t=5时，线段PQ的长；
  （3）求S与t之间的函数关系式；
  （4）连接AC．当正方形PRLQ与△ABC的重叠部分为三角形时，直接写出t的取值范围．
  组卷：1633引用：6难度：0.1

  解析