2021-2022学年北京市朝阳区朝阳外国语学校高二（上）开学数学试卷（9月份）

一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

• 1．已知a为实数，若复数z=（a²-1）+（a+1）i为纯虚数，则复数z的虚部为（　　）

  A．1

  B．2i

  C．2

  D．±1
  组卷：112引用：3难度：0.7

  解析

• 2．给出下列命题：
  ①三个非零向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  不能构成空间的一个基底，则

  a

  ，

  b

  ，

  c

  共面．
  ②若两个非零向量

  a

  ，

  b

  与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则

  a

  ，

  b

  共线．
  ③若

  a

  ，

  b

  是两个不共线的向量，

  c

  =

  λ

  a

  +

  μ

  b

  （λ，μ∈R，且λμ≠0），则{

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }构成空间的一个基底．
  其中真命题的个数是（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  组卷：66引用：8难度：0.7

  解析

• 3．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（　　）

  A． 1 2

  B． 2 5

  C． 3 8

  D． 1 3
  组卷：96引用：2难度：0.8

  解析

• 4．已知两个平面相互垂直，下列命题：
  ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
  ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
  ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；
  ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
  其中正确命题个数是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：476引用：19难度：0.5

  解析

• 5．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=2：3：4且a+b=10，则向量

  AB

  在向量

  AC

  上的投影的数量是（　　）

  A．4

  B．5

  C．6

  D．7
  组卷：5引用：1难度：0.8

  解析

三、解答题（共3小题，共52分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

• 14．在△ABC中，b²+c²-a²=

  4

  2

  3

  bc.
  （Ⅰ）求tanA的值；
  （Ⅱ）若3csinA=

  2

  asinB，且△ABC的面积S=2

  2

  ，求c的值．
  组卷：495引用：4难度：0.6

  解析

• 15．已知四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，
  ∠CDA=∠BAD=90°，

  AB

  =

  2

  ，

  CD

  =

  1

  ，

  AD

  =

  2

  ，M，N分别是PD，PB的中点．
  （1）求证：MQ∥平面PCB；
  （2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
  （3）求点A到平面MCN的距离．
  组卷：90引用：11难度：0.5

  解析