2009年中国数学奥林匹克试卷

一、解答题（共6小题，满分0分）

• 1．给定锐角三角形PBC，PB≠PC．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O．过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD的中点分别为M，N．
  （1）若A，B，C，D四点共圆，求证：EM•FN=EN•FM；
  （2）若EM•FN=EN•FM，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论．
  组卷：192引用：1难度：0.7

  解析

• 2．求所有的素数对（p,q），使得pq|5^p+5^q．
  组卷：44引用：1难度：0.7

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一、解答题（共6小题，满分0分）

• 5．凸n边形P中的每条边和每条对角线都被染为n种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n,存在一种染色方式，使得对于这n种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形P的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？
  组卷：161引用：1难度：0.1

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• 6．给定整数n≥3，证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S，使得对S的任意两个不同的非空子集A，B，数

  ∑

  x

  ∈

  A

  x

  |

  A

  |

  与

  ∑

  x

  ∈

  B

  x

  |

  B

  |

  是互素的合数．（这里

  ∑

  x

  ∈

  X

  x

  与|X|分别表示有限数集X的所有元素之和及元素个数．）
  组卷：55引用：1难度：0.1

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