2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）

• 1．集合A={x|x＞2，x∈R}，B={x|x²-2x-3＞0}，则A∩B=（　　）

  A．（3，+∞）	B．（-∞，-1）∪（3，+∞）
  C．（2，+∞）	D．（2，3）
  组卷：159引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知复数z=a²i-2a-i是正实数，则实数a的值为（　　）

  A．0

  B．1

  C．-1

  D．±1
  组卷：412引用：2难度：0.8

  解析

• 3．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（　　）

  A．y=x+2

  B．y=sinx

  C．y=x-x3

  D．y=2x
  组卷：297引用：5难度：0.8

  解析

• 4．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃=2，a₁+a₄=5，则S₆=（　　）

  A．10

  B．9

  C．8

  D．7
  组卷：474引用：3难度：0.9

  解析

• 5．在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（　　）

  A．- 2 5 5

  B．- 5 5

  C． 5 5

  D．- 2 5
  组卷：273引用：2难度：0.7

  解析

• 6．设a,b,c为非零实数，且a＞c,b＞c,则（　　）

  A．a+b＞c

  B．ab＞c2

  C． a + b 2 ＞ c

  D． 1 a + 1 b ＞ 2 c
  组卷：193引用：5难度：0.9

  解析

• 7．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（　　）

  A．2 2 ∉ S ，且 2 3 ∉S	B．2 2 ∉ S ，且 2 3 ∈S
  C． 2 2 ∈ S ，且 2 3 ∉ S	D． 2 2 ∈ S ，且 2 3 ∈ S
  组卷：147引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）

• 20．设椭圆

  E

  ：

  x

  2

  2

  +

  y

  2

  =

  1

  ，直线l₁经过点M（m,0），直线l₂经过点N（n,0），直线l₁∥直线l₂，且直线l₁、l₂分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点．
  （Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l₁⊥x轴，求四边形ABCD的面积；
  （Ⅱ）若直线l₁的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：m+n=0；
  （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由．
  组卷：456引用：3难度：0.7

  解析

• 21．对于正整数n,如果k（k∈N^*）个整数a₁，a₂，…，a_k满足1≤a₁≤a₂≤…≤a_k≤n,且a₁+a₂+…+a_k=n,则称数组（a₁，a₂，…，a_k）为n的一个“正整数分拆”．记a₁，a₂，…，a_k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f_n；a₁，a₂，…，a_k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g_n．
  （Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；
  （Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a₁，a₂，…，a_k）是n的一个“正整数分拆”，且a₁=2，求k的最大值；
  （Ⅲ）对所有的正整数n,证明：f_n≤g_n；并求出使得等号成立的n的值．
  （注：对于n的两个“正整数分拆”（a₁，a₂，…，a_k）与（b₁，b₂，…，b_n），当且仅当k=m且a₁=b₁，a₂=b₂，…，a_k=b_m时，称这两个“正整数分拆”是相同的．）
  组卷：341引用：8难度：0.2

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