2023-2024学年上海交大附中高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

• 1．已知A={x|x-2＜0}，则A∩N=

  ．
  组卷：6引用：1难度：0.8

  解析

• 2．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃=4，S₉=18，则公差d=

  ．
  组卷：124引用：1难度：0.7

  解析

• 3．复数z₁=a+4i,z₂=3+bi（a、b∈R），若它们的和z₁+z₂为实数，差z₁-z₂为纯虚数，则|a+bi|=

  ．
  组卷：57引用：1难度：0.8

  解析

• 4．已知|

  a

  |=

  2

  ，|

  b

  |=1，

  a

  与

  b

  的夹角为45°，则使向量（2

  a

  -λ

  b

  ）与（λ

  a

  -3

  b

  ）的夹角是锐角的实数λ的取值范围为

  ．
  组卷：301引用：9难度：0.5

  解析

• 5．已知f（x）=xcosx+cos（x+φ）（0＜φ＜π），函数y=f（x）的定义域为（-2π，2π）．若y=f（x）为奇函数，则y=f（x）的严格增区间为

  ．
  组卷：47引用：1难度：0.5

  解析

• 6．已知函数 f（x）=2f′（3）x-2x²+3lnx （f′（x）是f（x） 的导函数），则f（1）

  ．
  组卷：137引用：1难度：0.8

  解析

• 7．有一个空心钢球，质量为142g,测得外直径为5cm,则它的内直径是

  cm（钢的密度为7.9g/cm³，精确到0.1cm）．
  组卷：210引用：4难度：0.5

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

• 20．在平面直角坐标系xOy中，已知E（-2，0），F（2，0），A（-1，0），动点P满足|PE|-|PF|=2，动点P的轨迹记为Γ．
  （1）求曲线Γ的方程；
  （2）若点Q也在曲线Γ上，且

  FP

  =

  -

  3

  FQ

  ，求△APQ的面积；
  （3）是否存在常数λ，使得对动点P恒有∠PFA=λ∠PAE成立？请给出你的结论和理由．
  组卷：90引用：2难度：0.6

  解析

• 21．已知f（x）=x-ln（1+x）．
  （1）求函数y=f（x）的极值；
  （2）求证：对任意正整数n,有

  1

  n

  ＞

  ln

  （

  1

  +

  1

  n

  ）

  ；
  （3）记

  S

  n

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  1

  n

  ，求整数a,使得|S₂₀₂₃₁₁-a|＜0.5．
  组卷：42引用：1难度：0.2

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