2023-2024学年辽宁省实验中学高三（上）期中数学试卷

一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁_UB）=（　　）

  A．{1，3}

  B．{2}

  C．{2，3}

  D．{3}
  组卷：206引用：22难度：0.9

  解析

• 2．若

  p

  ：

  （

  x

  2

  +

  x

  +

  1

  ）

  x

  +

  3

  ≥

  0

  ，

  q

  ：

  x

  ≥

  -

  2

  ，则p是q的（　　）

  A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：13引用：6难度：0.9

  解析

• 3．幂函数f（x）的图象过点

  （

  2

  ，

  1

  4

  ）

  ，则f（x）的一个单调递减区间是（　　）

  A．（0，+∞）

  B．[0，+∞）

  C．（-∞，0]

  D．（-∞，0）
  组卷：124引用：4难度：0.9

  解析

• 4．欧拉公式e^xi=cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，

  e

  -

  πi

  3

  的共轭复数为（　　）

  A． 1 2 + 3 2 i

  B． 1 2 - 3 2 i

  C． - 1 2 + 3 2 i

  D． - 1 2 - 3 2 i
  组卷：43引用：4难度：0.5

  解析

• 5．已知角α终边与单位圆的交点为

  P

  （

  -

  3

  5

  ，

  4

  5

  ）

  ，则

  1

  +

  sin

  2

  α

  +

  2

  -

  2

  cos

  2

  α

  的值为（　　）

  A．1

  B． 7 5

  C． 9 5

  D． 13 5
  组卷：77引用：1难度：0.8

  解析

• 6．在平行四边形ABCD中，

  ∠

  BAD

  =

  2

  π

  3

  ，AB=2，AD=1，E为AB的中点，若

  BF

  =

  λ

  BC

  ，且AF⊥DE，则λ=（　　）

  A．-1

  B． 1 2

  C．1

  D．2
  组卷：61引用：1难度：0.5

  解析

• 7．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  e

  x

  -

  1

  e

  x

  +

  1

  ，若对任意的正数a,b,满足f（a）+f（2b-2）=0，则

  2

  a

  +

  1

  b

  的最小值为（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  组卷：247引用：12难度：0.5

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

• 21．已知函数f（x）=e^x（ax-2）+x+2．
  （1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x平行求该切线方程；
  （2）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
  组卷：92引用：1难度：0.6

  解析

• 22．已知函数f（x）=e^x-1-ax,x∈（0，1]，f'（x）为其导函数．函数f（x）在其定义域（0，1]内有零点x₀．
  （1）求实数a的取值范围；
  （2）设函数g（x）=f'（x）（m-x₀）-f（m），求证：对任意的m∈（0，1]且m≠x₀，g（m）•g（x₀）＜0．
  （3）求证：

  x

  0

  ≤

  1

  -

  1

  -

  1

  a

  ．
  组卷：46引用：4难度：0.5

  解析