2022-2023学年上海市宝山区吴淞中学高二（上）期中数学试卷

一、填空题。（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．已知球的半径为2，则它的体积为

  ．
  组卷：133引用：8难度：0.7

  解析

• 2．椭圆

  x

  2

  16

  +

  y

  2

  4

  =

  1

  的离心率为

  ．
  组卷：117引用：6难度：0.7

  解析

• 3．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是

  ．
  组卷：1907引用：20难度：0.8

  解析

• 4．过定点（2，1）且倾斜角是直线x-y+1=0的倾斜角的两倍的直线一般方程为

  ．
  组卷：225引用：2难度：0.7

  解析

• 5．与椭圆

  x

  2

  63

  +

  y

  2

  38

  =

  1

  有相等的焦距，且过圆x²+y²-6x-8y=0的圆心的椭圆的标准方程为

  ．
  组卷：127引用：3难度：0.8

  解析

• 6．已知直线2x+y-2=0和kx-y-1=0的夹角为

  π

  4

  ，那么k的值为

  ．
  组卷：37引用：2难度：0.8

  解析

• 7．将某校全体高一年级学生期末数学成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，现需要随机抽取60名学生进行问卷调查，采用按成绩分层随机抽样，则应抽取成绩不少于60分的学生人数为

  ．
  组卷：105引用：2难度：0.8

  解析

三、解答题。（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

• 20．一动点到两定点距禽的比值为非零常数λ，当λ≠1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆，已知两定点F₁，F₂的坐标分别为：F₁（4，0），F₂（1，0），动点N满足|F₁N|=2|F₂N|．
  （1）求动点N的方程：
  （2）过Q（2，3）作动点N所在圆的切线l,求l的方程．
  （3）如图，过点P（0，1））且互相垂直的两条直线分别与圆O：x²+y²=4交于点A，B，与圆M：（x-2）²+（y-1）²=1交于点C，D，CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．
  组卷：36引用：1难度：0.5

  解析

• 21．设A₁，A₂分别是椭圆Γ：

  x

  2

  a

  2

  +y²=1（a＞1）的左、右顶点，点B为椭圆的上顶点．
  （1）若

  A

  1

  B

  •

  A

  2

  B

  =-4，求椭圆Γ的方程；
  （2）设a=

  2

  ，F₂是椭圆的右焦点，点Q是椭圆第二象限部分上一点，若线段F₂Q的中点M在y轴上，求△F₂BQ的面积．
  （3）设a=3，点P是直线x=6上的动点，点C和D是椭圆上异于左、右顶点的两点，且C，D分别在直线PA₁和PA₂上，求证：直线CD恒过一定点．
  组卷：296引用：4难度：0.4

  解析