2023-2024学年山西大学附中高二（上）期中数学试卷

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

• 1．经过A（-1，3），B（1，9）两点的直线的一个方向向量为（1，k），则k=（　　）

  A． - 1 3

  B． 1 3

  C．-3

  D．3
  组卷：167引用：8难度：0.8

  解析

• 2．若圆x²+y²-4x+8y+2m=0的半径为2，则实数m的值为（　　）

  A．-9

  B．-8

  C．9

  D．8
  组卷：439引用：16难度：0.5

  解析

• 3．平面内点P到F₁（-3，0）、F₂（3，0）的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（　　）

  A． x 2 25 + y 2 9 = 1	B． x 2 25 + y 2 16 = 1
  C． y 2 25 + x 2 9 = 1	D． y 2 25 + x 2 16 = 1
  组卷：86引用：19难度：0.7

  解析

• 4．实数x,y满足x²+y²+2x=0，则

  y

  -

  1

  x

  -

  1

  的取值范围是（　　）

  A． [ 0 ， 4 3 ]	B． （ - ∞ ， 0 ] ∪ [ 4 3 ， + ∞ ）
  C． [ - 1 ， 1 3 ]	D． （ - ∞ ，- 1 ] ∪ [ 1 3 ， + ∞ ）
  组卷：251引用：3难度：0.6

  解析

• 5．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF=90°，则椭圆C的离心率为（　　）

  A． 5 - 1 2

  B． 3 - 1 2

  C． 1 + 5 4

  D． 3 + 1 4
  组卷：1432引用：16难度：0.7

  解析

• 6．若圆C：x²+y²-12x+10y+25=0上有四个不同的点到直线l：3x+4y+c=0的距离为3，则c的取值范围是（　　）

  A．（-∞，17）

  B．（-17，13）

  C．（-13，17）

  D．（-12，18）
  组卷：155引用：7难度：0.6

  解析

• 7．已知椭圆

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A，B两点，若M（1，-1）且

  OA

  +

  OB

  =

  2

  OM

  ，则E的方程为（　　）

  A． x 2 6 + y 2 3 = 1

  B． x 2 9 + y 2 6 = 1

  C． x 2 12 + y 2 3 = 1

  D． x 2 18 + y 2 9 = 1
  组卷：155引用：3难度：0.6

  解析

四、解答题（共6小题，满分70分，17题10分，18-22题每题12分）

• 21．如图，在三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，底面是边长为2的等边三角形，CC₁=2，D，E分别是线段AC，CC₁的中点，C₁在平面ABC内的射影为D．
  （1）求证：A₁C⊥平面BDE；
  （2）若点F为线段 B₁C₁上的动点（不包括端点），求锐二面角F-BD-E的余弦值的取值范围．
  组卷：180引用：8难度：0.5

  解析

• 22．已知椭圆C：

  x

  2

  5

  +

  y

  2

  4

  =

  1

  ，左、右顶点分别为A₁、A₂．
  （1）设直线l：

  x

  =

  2

  5

  与x轴交于点D，P点是椭圆C异于A₁，A₂的动点，直线A₁P，A₂P分别交直线l于E，F两点，求证：|DE|•|DF|为定值．
  （2）如图，原点O到l₁：y=kx+m距离为1，直线l₁与椭圆C交于A，B两点，直线l₂：y=kx+n（mn＞0，n≠m）与l₁平行且与椭圆C相切于点M（O，M位于直线l₁的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为S₁，S₂，若

  λ

  =

  S

  1

  S

  2

  ，求实数λ的取值范围．
  组卷：15引用：1难度：0.4

  解析