2023-2024学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

• 1．已知集合A={x||x|≤1}，B={-2，1，3，5}，则A∩B=

  ．
  组卷：21引用：2难度：0.9

  解析

• 2．复数

  z

  =

  1

  -

  2

  i

  3

  +

  i

  的模为

  ．
  组卷：139引用：4难度：0.8

  解析

• 3．如果sinα=-

  2

  2

  3

  ，α为第三象限角，则sin（

  3

  π

  2

  +α）=

  ．
  组卷：468引用：8难度：0.9

  解析

• 4．已知幂函数y=f（x）的图象过点

  （

  1

  2

  ，

  8

  ）

  ，则f（-2）=

  ．
  组卷：839引用：39难度：0.9

  解析

• 5．若定义在R上的函数f（x）为奇函数，设F（x）=af（x）-1，且F（1）=3，则F（-1）的值为

  ．
  组卷：199引用：5难度：0.8

  解析

• 6．如图，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA₁的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V₁，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的体积为V₂，则V₁：V₂=

  ．
  组卷：2047引用：58难度：0.7

  解析

• 7．设

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  x

  -

  lgx

  ，则不等式

  f

  （

  1

  x

  -

  1

  ）

  ＜

  1

  的解集为

  ．
  组卷：205引用：5难度：0.8

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

• 20．已知双曲线

  C

  ：

  x

  2

  -

  y

  2

  3

  =

  1

  ，直线l交双曲线于A，B两点．
  （1）求双曲线C的虚轴长与离心率；
  （2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率k_PA、k_PB均存在，求证：k_PA•k_PB为定值：
  （3）若l过双曲线的右焦点F₂，是否存在x轴上的点M（m,0），使得直线l绕点F₂无论怎么转动，都有

  MA

  •

  MB

  =

  0

  成立？若存在，求出M的坐标：若不存在．请说明理由．
  组卷：107引用：2难度：0.5

  解析

• 21．若定义域为R的函数y=f（x）满足y=f'（x）是R上的严格增函数，则称y=f（x）是一个“T函数”．
  （1）分别判断f₁（x）=e^x，f₂（x）=x³是否为T函数，并说明理由；
  （2）设a∈R，若函数y=g（x）是T函数，判断g（a+1）+g（a+2）和g（a）+g（a+3）的大小关系，并证明；
  （3）已知函数y=F（x）是T函数，过（x₀，y₀）可以作函数y=F（x）的两条切线，证明：y₀＜F（x₀）
  组卷：86引用：4难度：0.3

  解析