人教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第28章 二次函数（20）

一、解答题（共30小题）

• 1．抛物线y=x²+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．
  （1）求抛物线与x轴的交点坐标；
  （2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
  （3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？
  组卷：1819引用：50难度：0.3

  解析

• 2．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与直线AB相交于A（-3，0），B（0，3）两点．
  （1）求这条抛物线的解析式；
  （2）设C是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C的坐标；
  （3）探究在抛物线上是否存在点P，使得△APB的面积等于3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：2962引用：54难度：0.1

  解析

• 3．如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
  （1）求抛物线的函数表达式；
  （2）若点P在抛物线上，且S_△AOP=4S_△BOC，求点P的坐标；
  （3）如图b,设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
  组卷：8969引用：85难度：0.3

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• 4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A（-1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．
  （1）求抛物线解析式；
  （2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；
  （3）在（2）的条件下：
  ①连接DF，求tan∠FDE的值；
  ②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：5306引用：58难度：0.3

  解析

• 5．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．
  （1）求此抛物线的解析式；
  （2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
  （3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
  
  组卷：5004引用：71难度：0.3

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• 6．已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，-3）．
  （1）求抛物线的函数表达式；
  （2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；
  （3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．
  组卷：4169引用：59难度：0.1

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• 7．如图，抛物线 y=

  1

  2

  x²-

  3

  2

  x-2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点．
  （1）求A、B、C三点的坐标．
  （2）连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MO M′C，那么是否存在点M，使四边形MO M′C为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
  （3）当点M运动到什么位置时，四边形ABMC的面积最大，并求出此时M点的坐标和四边形ABMC的最大面积．
  组卷：2416引用：52难度：0.3

  解析

• 8．如图，已知抛物线C₁：y=-

  1

  2

  x²，平移抛物线y=x²，使其顶点D落在抛物线C₁位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C₂，且C₂与y轴交于点C（0，2）．
  （1）求抛物线C₂的解析式；
  （2）抛物线C₂与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C的圆的圆心E的坐标；
  （3）在过点（0，

  1

  2

  ）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：1962引用：50难度：0.3

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• 9．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
  （1）求抛物线的解析式和对称轴；
  （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
  （3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：24256引用：123难度：0.1

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• 10．如图，已知抛物线y=

  2

  8

  （x+2）（x-4）与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．
  （1）求点A、B、C的坐标；
  （2）设动点N（-2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；
  （3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
  
  组卷：2573引用：56难度：0.1

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一、解答题（共30小题）

• 29．如图1，一条抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且当x=-1和x=3时，y的值相等，直线y=

  15

  8

  x-

  21

  4

  与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．
  （1）求这条抛物线的表达式．
  （2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．
  ①若使△BPQ为直角三角形，请求出所有符合条件的t值；
  ②求t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？
  （3）如图2，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得△ODM，将△OPD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m＜2），将平移后的三角形与△ODM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．
  
  组卷：2617引用：50难度：0.1

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• 30．已知二次函数y=x²+bx-4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=

  1

  4

  
  （1）求二次函数的解析式；
  （2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；
  （3）是否存在实数x₁、x₂（x₁＜x₂），当x₁≤x≤x₂时，y的取值范围为

  12

  x

  2

  ≤y≤

  12

  x

  1

  ？若存在，直接写出x₁，x₂的值；若不存在，说明理由．
  组卷：1841引用：51难度：0.1

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