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2023-2024学年广东省广州市三校（南实、铁一、广外）高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/14 12:0:1

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知集合
A
=
{
x
|
y
=
1
-
2
x
}
，B={x|y=ln（2^x-1）}，则A∩B等于（　　）
A．
{
x
|
0
≤
x
＜
1
2
}
B．
{
x
|
0
＜
x
≤
1
2
}
C．
{
x
|
0
≤
x
≤
1
2
}
D．
{
x
|
0
＜
x
＜
1
2
}
组卷：243引用：1难度：0.5
解析
2．已知x＜y,则下列不等式一定成立的是（　　）
A．
1
x
＞
1
y
B．2^-x＜2^-y
C．lg（x²+1）＜lg（y²+1） D．
x
1
3
＜
y
1
3
组卷：27引用：2难度：0.8
解析
3．“方程
x
2
9
-
m
+
y
2
m
-
5
=
1
的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（　　）
A．“m=7” B．“7＜m＜9”
C．“5＜m＜9” D．“5＜m＜9”且“m≠7”
组卷：261引用：2难度：0.8
解析
4．已知圆C₁：x²+y²-4x+2ay+a²+3=0和圆C₂：x²+y²+2x-4ay+4a²-1=0，则圆C₁与圆C₂的公切线的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
组卷：119引用：3难度：0.7
解析
5．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为h=m•a^t．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（　　）（已知lg2≈0.3，结果取整数）
A．23天 B．33天 C．43天 D．50天
组卷：192引用：6难度：0.7
解析
6．已知
sinα
+
cos
（
π
6
-
α
）
=
3
3
，则
cos
（
2
α
+
π
3
）
=（　　）
A．
-
7
9
B．
7
9
C．
-
1
3
D．
1
3
组卷：186引用：3难度：0.8
解析
7．已知向量
a
=（2，0），
b
=（sinα，
3
2
），若
b
在
a
上的投影向量为
c
=（
1
2
，0），则向量
a
与
b
的夹角为（　　）
A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
2
π
3
组卷：105引用：6难度：0.7
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．已知椭圆
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的中心为O，左、右焦点分别为F₁，F₂，M为椭圆C上一点，线段MF₁与圆x²+y²=2相切于该线段的中点N，且△MF₁F₂的面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点F₁，且四边形OAPB是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在．请说明理由．
组卷：299引用：7难度：0.5
解析
22．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4，EF∥AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC=3．
（1）当点N为线段AD的中点时，求证：直线AD⊥平面EFN；
（2）当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．
组卷：156引用：12难度：0.5
解析