《第2章 数列》2010年单元测试卷（9）

一、填空题（共1小题，每小题5分，满分5分）

• 1．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P_k（x_k，y_k）处，其中x₁=1，y₁=1，当k≥2时，

  x k = x k - 1 + 1 - 5 [ T （ k - 1 5 ） - T （ k - 2 5 ） ]

  y k = y k - 1 + T （ k - 1 5 ） - T （ k - 2 5 ）

  T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为

  ；第2009棵树种植点的坐标应为

  ．
  组卷：553引用：6难度：0.5

  解析

二、解答题（共14小题，满分0分）

• 2．将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉a₁₀…记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1．S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足

  2

  b

  n

  b

  n

  S

  n

  -

  S

  2

  n

  =

  1

  （

  n

  ≥

  2

  ）

  ．
  （Ⅰ）证明数列

  {

  1

  S

  n

  }

  成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
  （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当

  a

  81

  =

  -

  4

  91

  时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．
  组卷：391引用：17难度：0.5

  解析

• 3．在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列．
  （1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论；
  （2）证明：

  1

  a

  1

  +

  b

  1

  +

  1

  a

  2

  +

  b

  2

  +

  …

  +

  1

  a

  n

  +

  b

  n

  ＜

  5

  12

  ．
  组卷：862引用：14难度：0.1

  解析

• 4．（1）设a₁，a₂，…，a_n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
  （i）当n=4时，求

  a

  1

  d

  的数值；
  （ii）求n的所有可能值．
  （2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
  组卷：487引用：4难度：0.5

  解析

• 5．公民在就业的第一年就交纳养老储备金a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d＞0），历年所交纳的储备金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1+r）^n-1，第二年所交纳的储备金就变为a₂（1+r）^n-2，…以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额．
  （Ⅰ）写出T_n与T_n-1（n≥2）的递推关系；
  （Ⅱ）求证：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列．
  组卷：351引用：6难度：0.5

  解析

二、解答题（共14小题，满分0分）

• 14．如图，在△ABC中，D、E、P、Q、M、N分别是各边的三等分点，现做投针试验，则射中阴影部分的概率是

  ．
  组卷：4引用：3难度：0.5

  解析

• 15．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈，S₁₆-S₁₂成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b_n}的前n项积为T_n，则T₄，

  ，

  ，

  T

  16

  T

  12

  成等比数列．
  组卷：469引用：42难度：0.7

  解析