2022-2023学年重庆市北碚区高三（上）质检数学试卷（10月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．复数

  z

  =

  1

  +

  3

  i

  3

  -

  i

  （i为虚数单位）的共轭复数

  z

  =（　　）

  A．i

  B．-i

  C．3i

  D．-3i
  组卷：99引用：3难度：0.8

  解析

• 2．若命题“∃x＞0，x+a-1=0”是假命题，则实数a的范围是（　　）

  A．{a|a＜-1}

  B．{a|a≤-1}

  C．{a|a＞1}

  D．{a|a≥1}
  组卷：77引用：2难度：0.8

  解析

• 3．设函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  1 ， x ＞ 0

  0 ， x = 0

  - 1 ， x ＜ 0

  ，则方程x²f（x-1）=-4的解为（　　）

  A．x=-2

  B．x=-3

  C．x=2

  D．x=3
  组卷：139引用：4难度：0.8

  解析

• 4．sin10°的值落在区间（　　）中．

  A． （ 1 7 ， 1 6 ）

  B． （ 1 6 ， 1 5 ）

  C． （ 1 5 ， 1 4 ）

  D． （ 2 6 ， 3 6 ）
  组卷：56引用：2难度：0.6

  解析

• 5．大磨滩瀑布位于重庆市北碚区，其为悬岩瀑布，白练千条，五光十色，气势磅礴，吼声如雷．在悬瀑正中，有一人工开凿的洞穴，用石板封闭，人不能入．右侧有石屋两间，人工凿岩而成，各长6米，宽3米，高2.5米，一上一下，两屋相通，下屋内有石窗，可观瀑布．为了测量大磨滩瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为

  3

  2

  ，沿山道继续走20m,抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为

  π

  3

  ；已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为

  π

  3

  ，则该瀑布的高度约为（　　）

  A．60m

  B．90m

  C．108m

  D．120m
  组卷：19引用：1难度：0.6

  解析

• 6．某干燥塔的底面是半径为1的圆面O，圆面有一个内接正方形ABCD框架，在圆O的劣弧BC上有一点P，现在从点P出发，安装PA，PB，PC三根热管，则三根热管的长度和的最大值为（　　）

  A．4

  B． 2 3

  C． 3 3

  D． 2 6
  组卷：66引用：3难度：0.5

  解析

• 7．现有天平及重量为1，2，4，8的砝码各一个，每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入天平的左边或者右边，直至所有砝码全放到天平两边，但在放的过程中，发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样的方法共有（　　）种．

  A．105

  B．72

  C．60

  D．48
  组卷：338引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的．切比雪夫在数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设X为离散型随机变量，则P（|X-E（X）|≥λ）≤

  D

  （

  X

  ）

  λ

  2

  ，其中λ为任意大于0的实数．切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件|X-λ|≤λ的概率作出估计．
  （1）证明离散型切比雪夫不等式；
  （2）应用以上结论，回答下面问题：
  已知正整数n≥5．在一次抽奖游戏中，有n个不透明的箱子依次编号为1，2，⋯，n,编号为i（1≤i≤n）的箱子中装有编号为0，1，⋯，i的i+1个大小、质地均相同的小球．主持人邀请n位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i的箱子中抽取的小球号码为X_i，并记X=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  X

  i

  i

  ．对任意的n,是否总能保证P（X≤0.1n）≥0.01（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论．
  附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：
  对于离散型随机变量X，X₁，X₂，⋯，X_n满足X=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  X

  i

  ，则有E（X）=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  E

  （

  X

  i

  ）

  ．
  组卷：161引用：2难度：0.6

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• 22．已知0≤m＜n,若函数f（x）在x∈[m,n]上的值域是[km,kn]，则称f（x）是第k类函数．
  （1）若

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  -

  1

  x

  是第k类函数，求k的取值范围；
  （2）若f（x）=4x-x²是第2类函数，求m,n的值．
  组卷：206引用：3难度：0.2

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