2023年上海市长宁区延安中学高考数学三模试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．已知集合A={1，2，3}，B={0，3}，则A∩B=

  ．
  组卷：63引用：1难度：0.7

  解析

• 2．在（2x+1）⁴的展开式中，x²的系数为

  ．（用数字作答）
  组卷：156引用：8难度：0.7

  解析

• 3．已知随机事件A，B满足P（A∩B）=

  1

  3

  ，P（A）=

  1

  2

  ，则P（B|A）=

  ．
  组卷：85引用：2难度：0.8

  解析

• 4．已知直线l₁：x+y=0和l₂：2x-ay+3=0（a∈R），若l₁⊥l₂，则a=

  ．
  组卷：147引用：4难度：0.8

  解析

• 5．在复平面内，复数z所对应的点为（1，1）．则

  z

  •

  z

  =

  ．
  组卷：54引用：3难度：0.9

  解析

• 6．若一个圆柱的侧面积是4π，高为1，则这个圆柱的体积是

  ．
  组卷：170引用：5难度：0.8

  解析

• 7．在数列{a_n}中，a₁=1，且

  2

  a

  n

  -

  1

  a

  n

  +

  1

  =

  0

  ，设S_n为数列{a_n}的前n项和，则

  lim

  n

  →

  +

  ∞

  S

  n

  =

  ．
  组卷：56引用：1难度：0.8

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须写出必要的步骤

• 20．已知椭圆Γ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（0＜b＜2）的离心率是

  1

  2

  ，点A是椭圆的上顶点，点P是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点．
  （1）求椭圆Γ的方程；
  （2）设圆C：x²+y²+8x-2

  3

  y+7=0．若直线AP与圆C相切，求点P的坐标；
  （3）若点M是椭圆Γ上不与椭圆顶点重合且异于点P的任意一点，点M关于x轴的对称点是点N，直线MP、NP分别交x轴于点E（m,0）、点F（n,0），探究m•n是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．
  组卷：133引用：4难度：0.6

  解析

• 21．已知f（x）=x³+ax²-a²x+2，a∈R．
  （1）当a＜0时，求函数y=f（x）的单调减区间；
  （2）当a=0时，曲线y=f（x）在相异的两点A，B点处的切线分别为l₁和l₂，l₁和l₂的交点位于直线x=2上，证明：A，B两点的横坐标之和小于4；
  （3）当a＞0时，如果对于任意x₁，x₂，x₃∈[0，1]，总存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，求a的取值范围．
  组卷：90引用：2难度：0.5

  解析