2022年江苏省苏州市工业园区西附高中纳米人才实验班自主招生数学试卷

一、单项选择题：本大题共6小题，每小题6分，共计36分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填在相应的位置上.

• 1．数

  1

  1

  11

  +

  1

  12

  +

  1

  13

  +

  •••

  +

  1

  20

  整数部分的个位数是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．以上都不是
  组卷：932引用：1难度：0.5

  解析

• 2．甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（　　）

  A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分

  B．第二名的总分可能超过18分

  C．第三名的总分共有3种情形

  D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名
  组卷：344引用：3难度：0.6

  解析

• 3．已知实数x,y满足

  26

  x

  3

  y

  3

  x

  6

  -

  27

  y

  6

  =1且x²≠y²，则

  x

  2

  +

  y

  2

  x

  2

  -

  y

  2

  的值为（　　）

  A． 4 5

  B． 5 4

  C． 1 2

  D．2
  组卷：348引用：2难度：0.7

  解析

• 4．如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA=OB=2，AD=4

  2

  ，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（　　）

  A．（6，4）

  B．（-6，4）

  C．（4，-6）

  D．（-4，6）
  组卷：808引用：9难度：0.4

  解析

• 5．在△ABC中，∠ABC=120°，点D在边AC上，且满足DB⊥BA，DC=AB，则

  AD

  AB

  =（　　）

  A． 3 2

  B． 3 3

  C． 2

  D． 3
  组卷：453引用：1难度：0.4

  解析

四、解答题：本大题共3个大题，共42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

• 15．已知关于x的方程|x^2₊2px-3p²+5|-q=0，其中p,q都是实数．
  （1）若q=0时，方程有两个不同的实数根x₁，x₂，且

  1

  x

  1

  +

  1

  x

  2

  =

  1

  7

  ，求实数p的值．
  （2）若方程有三个不同的实数根x₁，x₂，x₃，且

  1

  x

  1

  +

  1

  x

  2

  +

  1

  x

  3

  =

  0

  ，求实数p和q的值．
  （3）是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x₁，x₂，x₃，x₄且x₁x₂x₃x₄=3（

  x

  1

  +

  x

  2

  +

  x

  3

  +

  x

  4

  4

  ）⁴？若存在，求出所有满足条件的p,q.若不存在，说明理由．
  组卷：667引用：2难度：0.3

  解析

• 16．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD、PE、DE．
  （1）求出抛物线的解析式；
  （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由；
  （3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数．并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．
  组卷：548引用：4难度：0.2

  解析