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2012-2013学年湖南省长沙市长郡中学高三（下）5月周考数学试卷（理科）

发布：2024/12/18 11:30:2

一、选择题.本题共8小题，第小题5分，共40分.

1．设全集U=R，且A={x||x-1|＞2}，B={x|x²-6x+8＜0}，则（∁_UA）∩B=（　　）
A．[-1，4） B．（2，3） C．（2，3] D．（-1，4）
组卷：391引用：28难度：0.9
解析
2．已知x,y∈R，i是虚数单位，且（x-1）i-y=2+i,则i^x-y的值是（　　）
A．1 B．-1 C．4 D．-4
组卷：5引用：2难度：0.9
解析
3．若程序框图输出S的值为126，则判断框①中应填入的条件是（　　）
A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8
组卷：68引用：118难度：0.9
解析
4．已知命题p：∀x∈[1，2]，x²-a≥0，命题q：∃x∈R使x²+2ax+2-a=0，若命题“p且q”为真，则实数a的取值范围是（　　）
A．{a|-1＜a＜1或a＞1} B．{a|a≥1}
C．{a|-2≤a≤1} D．{a|a≤-2或a=1}
组卷：42引用：3难度：0.7
解析
5．给定下列四个命题：
①∃x∈R，x²=-1；
②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件；
③在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个．用系统抽样法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取到的概率是
1
6
；
④函数y=2sin（4x+
π
6
）的图象的两条相邻对称轴间的距离为
π
4
；
其中，正确命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
组卷：7引用：1难度：0.7
解析
6．设a=
∫
π
2
-
π
2
cosxdx,则二项式（a
x
-
1
x
）⁶的展开式中含x²项的系数是（　　）
A．192 B．-192 C．182 D．-182
组卷：10引用：2难度：0.9
解析
7．用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设f（x）=min{2^x，x+2，10-x}（x≥0），则f（x）的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
组卷：524引用：69难度：0.9
解析

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三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

20．已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：
OM
•
OP
为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
组卷：5022引用：67难度：0.1
解析
21．对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a,b]⊆D和常数c,使得对任意x₁∈[a,b]，都有f（x₁）=c,且对任意x₂∈D，当x₂∉[a,b]时，f（x₂）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
（Ⅰ）判断函数f₁（x）=|x-1|+|x-2|和f₂（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅱ）设f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；
（Ⅲ）若函数
g
（
x
）
=
mx
+
x
2
+
2
x
+
n
是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．
组卷：56引用：11难度：0.3
解析