2022-2023学年广东省人大附中深圳学校高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．

  AB

  -

  2

  AC

  +

  BC

  =（　　）

  A． CA

  B． AC

  C． BC

  D． CB
  组卷：316引用：4难度：0.9

  解析

• 2．已知（1+i）²z=2+4i³，则z=（　　）

  A．-2-i

  B．-2+i

  C．2-i

  D．2+i
  组卷：133引用：3难度：0.8

  解析

• 3．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（　　）

  A． 1 2

  B．2

  C． 3 2

  D． 4 3
  组卷：156引用：11难度：0.7

  解析

• 4．已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（　　）

  A． 3 2

  B． 3

  C． 6 4

  D． 6 2
  组卷：233引用：6难度：0.7

  解析

• 5．设α是空间中的一个平面，l,m,n是三条不同的直线，则（　　）

  A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m,l⊥n,则l⊥α

  B．若l∥m,m∥n,l⊥α，则n⊥α

  C．若l∥m,m⊥α，n⊥α，则l⊥n

  D．若m⊂α，n⊥α，l⊥n,则l∥m
  组卷：1185引用：28难度：0.5

  解析

• 6．棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为正方体表面上的一个动点，且总有PC⊥BC₁，则动点P的轨迹所围成图形的面积为（　　）

  A． 3

  B． 2

  C． 3 2

  D．1
  组卷：44引用：1难度：0.7

  解析

• 7．点P是菱形ABCD内部一点，若2

  PA

  +3

  PB

  +

  PC

  =

  0

  ，则ABCD的面积与△PBC的面积的比值是（　　）

  A．6

  B．8

  C．12

  D．15
  组卷：507引用：6难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=

  2

  ，∠ACB=90°，AA₁=2，D为AB的中点．
  （1）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值；
  （2）在棱A₁B₁上是否存在一点M，使得平面C₁AM∥平面B₁CD．
  组卷：720引用：4难度：0.8

  解析

• 22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,向量

  p

  =

  （

  2

  b

  ,

  2

  c

  -

  a

  ）

  ，

  q

  =

  （

  1

  ，

  cos

  A

  ）

  ，且

  p

  ∥

  q

  ，b=3．
  （1）求B的大小；
  （2）求

  ac

  a

  +

  c

  的最大值．
  组卷：195引用：2难度：0.6

  解析