2023-2024学年北京三十五中高二（上）期中数学试卷

一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分.每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）

• 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是（　　）

  A．x-2y-1=0

  B．x-2y+1=0

  C．2x+y-2=0

  D．x+2y-1=0
  组卷：1168引用：22难度：0.9

  解析

• 2．若

  a

  =

  （

  x

  ,-

  1

  ，

  3

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  ，

  y

  ,

  6

  ）

  ，且

  a

  ∥

  b

  ，则（　　）

  A．x=1，y=2

  B．x=1，y=-2

  C． x = 1 2 ，y=-2

  D．x=-1，y=-2
  组卷：72引用：3难度：0.7

  解析

• 3．圆x²+y²+2y=1的半径为（　　）

  A．1

  B． 2

  C．2

  D．4
  组卷：306引用：15难度：0.9

  解析

• 4．椭圆

  x

  2

  17

  +

  y

  2

  8

  =

  1

  的焦点坐标为（　　）

  A．（5，0），（-5，0）	B．（3，0），（-3，0）
  C．（0，5），（0，-5）	D．（0，3），（0，-3）
  组卷：219引用：4难度：0.7

  解析

• 5．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a,则棱BB₁到面AA₁C₁C的距离为（　　）

  A． 3 3 a

  B．a

  C． 2 2 a

  D． 2 a
  组卷：63引用：4难度：0.6

  解析

• 6．直线

  3

  x

  +

  y

  -

  2

  =

  0

  截圆x²+y²=4得到的弦长为（　　）

  A．1

  B． 2 3

  C． 2 2

  D．2
  组卷：98引用：14难度：0.9

  解析

• 7．已知平面α，β，直线l,b,如果α⊥β，且α∩β=l,M∈α，M∈b,则l⊥b是b⊥β的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：44引用：3难度：0.8

  解析

三．解答题（共6个小题，共85分，请将详细解答过程写在答题卡相应的位置．）

• 20．如图：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，

  A

  A

  1

  =

  2

  2

  ，∠ACB=90°，M是AA₁的中点，N是BC₁的中点．
  （1）求证：MN∥平面A₁B₁C₁；
  （2）求：二面角B-C₁M-A₁的余弦值；
  （3）在线段BC₁上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为

  3

  3

  ，若存在求此时

  BP

  B

  C

  1

  的值，若不存在请说明理由．
  组卷：213引用：1难度：0.5

  解析

• 21．对任意正整数n,记集合A_n={（a₁，a₂，⋯，a_n）|a₁，a₂，⋯，a_n均为非负整数，且a₁+a₂+⋯+a_n=n}，集合B_n={（b₁，b₂，⋯，b_n）|b₁，b₂，⋯，b_n均为非负整数，且b₁+b₂+⋯+b_n=2n}．设α=（a₁，a₂，⋯，a_n）∈A_n，β=（b₁，b₂，⋯，b_n）∈B_n，若对任意i∈{1，2，⋯，n}都有a_i≤b_i，则记α＜β．
  （Ⅰ）写出集合A₂和B₂；
  （Ⅱ）证明：对任意α∈A_n，存在β∈B_n，使得α＜β；
  （Ⅲ）设集合S_n={（α，β）|α∈A_n，β∈B_n，α＜β}，求证：S_n中的元素个数是完全平方数．
  组卷：831引用：10难度：0.1

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