2023-2024学年江苏省常州市金坛区高一（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知命题p：∃x∈R，x²+x＜0，则￢p是（　　）

  A．∃x∈R，x2+x＞0	B．∀x∈R，x2+x≥0
  C．∀x∈R，x2+x＞0	D．∃x∈R，x2+x≥0
  组卷：160引用：8难度：0.8

  解析

• 2．下列函数中值域为[0，+∞）的是（　　）

  A． y = x

  B． y = - 1 x

  C．y=5x+3

  D．y=x2+1
  组卷：174引用：1难度：0.7

  解析

• 3．已知a,s,t都是正实数，且a≠1，下列运算一定正确的是（　　）

  A．as+at=as+t

  B．asat=as+t

  C．loga s+logat=loga（s+t）

  D．logas•logat=loga（st）
  组卷：309引用：2难度：0.9

  解析

• 4．已知函数f（x）=

  8 x , x ≥ 0

  f （ x + 3 2 ） ， x ＜ 0

  ，则f（-4）=（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  组卷：7引用：4难度：0.8

  解析

• 5．已知关于x的方程2kx²-2x-5k-1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（　　）

  A．（0，+∞）	B．（-∞，-1）
  C．（-1，0）	D．（-∞，-1）∪（0，+∞）
  组卷：579引用：5难度：0.7

  解析

• 6．已知a,b,c∈R，则下列四个命题正确的个数是（　　）
  ①若ac²＞bc²，则a＞b；
  ②若|a-2|＞|b-2|，则（a-2）²＞（b-2）²
  ③若a＞b＞c＞0，则

  a

  b

  ＞

  a

  +

  c

  b

  +

  c

  ；
  ④若a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，则a＞2，b＞2．

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：144引用：8难度：0.7

  解析

• 7．在下列选项中，满足p与q等价的是（　　）

  A．已知实数x,p： 1 x ＜1和q：x＞1

  B．已知实数x、y,p：（x-1）2+（y-2）2=0和q：（x-1）（y-2）=0

  C．已知实数a、b,p： | a + b | | a | + | b | ≤1和q：a2+b2≠0

  D．已知a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1＞0和不等式a2x2+b2x+c2＞0的实数解集分别为M和N，P： a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 和q：M=N
  组卷：8引用：1难度：0.8

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
  例：求x³-3x,x∈[0，+∞）的最小值．
  解：利用基本不等式a+b+c≥3

  3

  abc

  ，得到x³+1+1≥3x,于是x³-3x=x³+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时，取到最小值-2．
  （1）老师请你模仿例题，研究x⁴-4x,x∈[0，+∞）上的最小值；
  （提示：a+b+c+b≥4

  4

  abcd

  ）
  （2）研究：若

  1

  9

  x³-3x在x∈[0，+∞）上的最小值恰是m+

  8

  m

  的最大值，试求实数m的取值范围．
  组卷：31引用：1难度：0.5

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• 22．对于定义域为I的函数，如果存在区间[m,n]⊆I，同时满足下列两个条件：
  ①f（x）在区间[m,n]上是单调的；
  ②当定义域是[m,n]时，f（x）的值域也是[m,n]．则称[m,n]是函数y=f（x）的一个“理想区间”．
  （1）请证明：函数y=1-

  2

  x

  （x＞0）不存在“理想区间”；
  （2）已知函数y=x²-6x+12在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”；
  （3）如果[m,n]是函数y=

  （

  a

  2

  +

  a

  ）

  x

  -

  2

  a

  2

  x

  （a≠0）的一个“理想区间”，请求出n-m的最大值．
  组卷：59引用：4难度：0.5

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