2022-2023学年福建省福州一中高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．复数z满足（1-i）z=i,则z的虚部是（　　）

  A． - 1 2

  B． 1 2

  C． 1 2 i

  D． - 1 2 i
  组卷：86引用：4难度：0.8

  解析

• 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若a：b：c=3：5：7，则三角形中的最大角的大小为（　　）

  A．150°

  B．135°

  C．90°

  D．120°
  组卷：104引用：1难度：0.7

  解析

• 3．已知向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  x

  ,-

  2

  ）

  ，若

  a

  ∥

  b

  ，则

  a

  +

  b

  =（　　）

  A．（-2，-1）

  B．（2，1）

  C．（3，-1）

  D．（-3，1）
  组卷：469引用：14难度：0.9

  解析

• 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知b=4，c=2，C=60°，则此三角形的解的情况是（　　）

  A．有一解	B．有两解
  C．无解	D．有解但解的个数不确定
  组卷：226引用：4难度：0.8

  解析

• 5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e^ix=cosx+isinx,其中e是自然对数的底，i是虚数单位，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，下列说法正确的是（　　）

  A．eix+1=0	B． （ 1 2 + 3 2 i ） 3 = 1
  C． cosx = e ix + e - ix 2	D． sinx = e ix + e - ix 2
  组卷：34引用：3难度：0.7

  解析

• 6．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为AD上一点，BE⊥AC．若

  BE

  =

  λ

  BA

  +

  μ

  BC

  ，则λ+μ的值为（　　）

  A． 10 7

  B． 9 8

  C． 25 16

  D． 29 18
  组卷：66引用：1难度：0.6

  解析

• 7．在△ABC中，

  BM

  =

  1

  2

  BC

  ，

  NC

  =

  3

  5

  AC

  ，直线AM交BN于点Q，若

  BQ

  =

  λ

  BN

  ，则λ=（　　）

  A． 3 5

  B． 3 4

  C． 5 6

  D． 5 7
  组卷：130引用：1难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知∠AOB=

  π

  6

  ，弓形花园的弦长|AB|=2

  3

  ，记弓形花园的顶点为M，∠MAB=∠MBA=

  π

  6

  ，设∠OBA=θ．
  
  （Ⅰ）将|OA|，|OB|用含有θ的关系式表示出来；
  （Ⅱ）该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，才使得喷泉M与山庄O的距离的值最大？
  组卷：227引用：10难度：0.5

  解析

• 22．锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,b=2且b≠c,bccosB=4（c-1）cosC．
  （1）求证：A=2C；
  （2）将AC延长至D，使得

  3

  CD

  =

  AC

  ，记△ABD的内切圆与边AD相切于点T，AT是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
  组卷：39引用：1难度：0.6

  解析