人教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第28章 二次函数（23）

一、解答题（共30小题）

• 1．如图①，双曲线y=

  k

  x

  （k≠0）和抛物线y=ax²+bx（a≠0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（-1，-3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．
  （1）求双曲线和抛物线的解析式；
  （2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
  （3）如图②，过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求

  DN

  NB

  的值．
  
  组卷：557引用：52难度：0.1

  解析

• 2．如图，抛物线y=ax²+bx-3a（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
  （1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；
  （2）将线段BC先向左平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度，使点C的对应点C₁恰好落在该抛物线上，求此时点C₁的坐标和m的值；
  （3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标．
  组卷：1083引用：51难度：0.1

  解析

• 3．已知二次函数y=-x²+bx+c的对称轴为直线x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，
  （1）求二次函数解析式；
  （2）若

  S

  △

  AOB

  S

  △

  BOC

  =

  1

  3

  ，求k；
  （3）若以BC为直径的圆经过原点，求k.
  组卷：733引用：50难度：0.1

  解析

• 4．如图，已知直线l的解析式为y=

  1

  2

  x-1，抛物线y=ax²+bx+2经过点A（m,0），B（2，0），D（1，

  5

  4

  ）三点．
  （1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；
  （2）已知点 P（x,y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；
  （3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．
  组卷：522引用：52难度：0.1

  解析

• 5．如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
  （1）求A，B，C三点的坐标；
  （2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；
  （3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．
  组卷：6412引用：60难度：0.1

  解析

• 6．已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
  （1）求这条抛物线的解析式；
  （2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
  （3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：1572引用：55难度：0.1

  解析

• 7．已知抛物线y=ax²+x+c（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．
  （1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；
  （2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；
  （3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为

  2

  2

  时，求点E的坐标；
  （4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称吗？请说明理由．
  组卷：642引用：50难度：0.1

  解析

• 8．已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，

  5

  4

  ），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
  （1）求该二次函数的解析式．
  （2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在-1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）
  （3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．
  （注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）
  附：阅读材料
     任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
     即：设一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，
     则：x₁+x₂=-

  b

  a

  ，x₁•x₂=

  c

  a

  
     能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．
     例：不解方程，求方程x²-3x=15两根的和与积．
     解：原方程变为：x²-3x-15=0
  ∵一元二次方程的根与系数有关系：x₁+x₂=-

  b

  a

  ，x₁•x₂=

  c

  a

  
  ∴原方程两根之和=-

  -

  3

  1

  =3，两根之积=

  -

  15

  1

  =-15．
  组卷：586引用：50难度：0.1

  解析

• 9．如图，已知抛物线y=ax²-

  3

  2

  x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=

  1

  2

  x-2交于B、C两点，其中点C是直线y=

  1

  2

  x-2与y轴的交点，连接AC．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）证明：△ABC为直角三角形；
  （3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．
  组卷：1737引用：59难度：0.1

  解析

• 10．如图，已知c＜0，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点（x₂＞x₁），与y轴交于点C．
  （1）若x₂=1，BC=

  5

  ，求函数y=x²+bx+c的最小值；
  （2）过点A作AP⊥BC，垂足为P（点P在线段BC上），AP交y轴于点M．若

  OA

  OM

  =2，求抛物线y=x²+bx+c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
  组卷：1087引用：50难度：0.3

  解析

一、解答题（共30小题）

• 29．在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+（k-1）x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
  （1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
  （2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
  （3）如图2，抛物线y=x²+（k-1）x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：6570引用：72难度：0.1

  解析

• 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-

  4

  3

  x²+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m,0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
  （1）求该抛物线的解析式；
  （2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
  （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：6126引用：62难度：0.1

  解析