2023年北京市中国人民大学附中高考数学三模试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．若复数z=a²-1+（a+1）i是纯虚数，则实数a=（　　）

  A．1

  B．-1

  C．±1

  D．0
  组卷：238引用：3难度：0.8

  解析

• 2．已知集合A={x|1＜3^x≤9}，B={x|

  x

  +

  2

  x

  -

  2

  ≤0}，则A∩B=（　　）

  A．（1，2）

  B．（0，1）

  C．（0，2）

  D．[-2，2）
  组卷：265引用：5难度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  =（1，2），

  b

  =（3，x），

  a

  与

  b

  共线，则

  |

  a

  -

  b

  |

  =（　　）

  A．6

  B．20

  C． 2 5

  D．5
  组卷：421引用：3难度：0.8

  解析

• 4．已知函数f（x）=x,g（x）=2^x+2^-x，则大致图象如图的函数可能是（　　）

  A．f（x）+g（x）

  B．f（x）-g（x）

  C．f（x）g（x）

  D． f （ x ） g （ x ）
  组卷：323引用：6难度：0.7

  解析

• 5．某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有40万居民，估计居民中月均用水量在[2.5，3）的人数为（　　）

  A．4.8万

  B．6万

  C．6.8万

  D．12万
  组卷：279引用：3难度：0.7

  解析

• 6．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2⁴⁴¹种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为3×10¹¹秒，那么大约可以用（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5）（　　）

  A．10117万年

  B．117万年

  C．10205万年

  D．205万年
  组卷：869引用：8难度：0.7

  解析

• 7．若两条直线l₁：y=2x+m,l₂：y=2x+n与圆x²+y²-4x=0的四个交点能构成正方形，则|m-n|=（　　）

  A． 4 5

  B． 2 10

  C． 2 2

  D．4
  组卷：363引用：4难度：0.5

  解析

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

• 20．设函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  px

  -

  p

  x

  -

  2

  lnx

  ，其中e是自然对数的底数．
  （1）当

  p

  =

  3

  2

  时，求函数f（x）的极值；
  （2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围；
  （3）设

  g

  （

  x

  ）

  =

  2

  e

  x

  ，若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．
  组卷：294引用：4难度：0.4

  解析

• 21．有穷数列{a_n}共m项（m≥3）．其各项均为整数，任意两项均不相等．b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2，⋯，m-1），b_i≤b_i+1（i=1，2，⋯，m-2）．
  （Ⅰ）若{a_n}：0，1，a₃.求a₃的取值范围；
  （Ⅱ）若m=5，当

  5

  ∑

  i

  =

  1

  |

  a

  i

  |

  取最小值时，求

  4

  ∑

  i

  =

  1

  b

  i

  的最大值；
  （Ⅲ）若1≤a_i≤m（i=1，2，⋯，m），

  m

  -

  1

  ∑

  k

  =

  1

  b

  k

  =

  m

  +

  1

  ，求m的所有可能取值．
  组卷：526引用：4难度：0.1

  解析