2022-2023学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（上）期中数学试卷

一、单选题（每小题5分，共40分）

• 1．已知

  a

  =（2，-3，1），则下列向量中与

  a

  平行的是（　　）

  A．（1，1，1）

  B．（-2，-3，5）

  C．（2，-3，5）

  D．（-4，6，-2）
  组卷：238引用：10难度：0.9

  解析

• 2．两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0间的距离为d,则a,d分别为（　　）

  A．a=6， d = 6 3

  B．a=-6， d = 6 3

  C．a=-6， d = 5 3

  D．a=6， d = 5 3
  组卷：898引用：14难度：0.7

  解析

• 3．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（　　）

  A． 2 3

  B． 3 4

  C． 3 3

  D． 2 4
  组卷：336引用：22难度：0.6

  解析

• 4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（0，0），B（0，2），C（-6，0），则其欧拉线的一般式方程为（　　）

  A．3x+y=1

  B．3x-y=1

  C．x+3y=0

  D．x-3y=0
  组卷：183引用：12难度：0.7

  解析

• 5．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若

  OP

  =

  x

  OA

  +

  y

  OB

  +

  z

  OC

  ，则“x=4，y=-5，z=2”是“P，A，B，C四点共面”的（　　）条件．

  A．必要不充分	B．充分不必要
  C．充要	D．既不充分也不必要
  组卷：63引用：1难度：0.8

  解析

• 6．F₁，F₂是双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ,

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点，过左焦点F₁的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|=|BF₂|=|AF₂|，则双曲线的离心率为（　　）

  A．2

  B． 5

  C． 6

  D． 7
  组卷：78引用：2难度：0.7

  解析

• 7．已知棱长都为3的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为棱BB₁，CC₁上的点，当A₁D+DE+EA取得最小值时，DE与平面AA₁C₁C所成角的正弦值为（　　）

  A． 10 10

  B． 5 5

  C． 3 30 20

  D． 3 3 20
  组卷：146引用：5难度：0.7

  解析

四、解答题（共70分，其中17题10分，18—22题每题12分）

• 21．如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，其中AB∥DC，AB=2BC=2CD=4，∠BCD=60°，平面PBD⊥平面ABCD．
  （1）证明：PB⊥AD；
  （2）若PB=PD，且PA与平面ABCD所成角的正弦值为

  3

  22

  22

  ，点F在线段PC上满足PC=3PF，求二面角D-BF-C的余弦值．
  组卷：399引用：5难度：0.5

  解析

• 22．设椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为

  1

  2

  ，|AB|=

  7

  ．
  （1）求椭圆的方程；
  （2）设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为

  -

  1

  4

  ．
  ①证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标；
  ②求△APQ面积的最大值．
  组卷：317引用：3难度：0.4

  解析