2023年河北省衡水中学高考数学第五次综合测评试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．已知集合A={x|log₂x＜1}，B={x|x＞1}，则A∪∁_RB=（　　）

  A．{x|x＜2}

  B．{x|0＜x≤1}

  C．{x|x≤1}

  D．R
  组卷：100引用：3难度：0.8

  解析

• 2．塔因为年代久远，塔身容易倾斜，在下方图2中，AB表示塔身，塔身AB的长度就是塔的高度，塔身与铅垂线AC的夹角θ为倾斜角，塔顶B到铅垂线的距离BC为偏移距离，现有两个塔高相同的斜塔，它们的倾斜角的正弦值分别为

  7

  25

  ，

  9

  41

  ，两座塔的偏移距离差的绝对值为3.1米，则两座塔的塔顶到地面的距离差的绝对值为（　　）

  A．1.2米

  B．0.6米

  C．1米

  D．0.8米
  组卷：6引用：2难度：0.6

  解析

• 3．已知向量

  a

  =

  （

  7

  sinθ

  -

  1

  ，

  5

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，-

  cos

  2

  θ

  ）

  ，若

  a

  ⊥

  b

  ，则cos2θ=（　　）

  A． - 7 25

  B． 7 25

  C． - 24 25

  D． 24 25
  组卷：607引用：8难度：0.7

  解析

• 4．若1，a₁，a₂，4成等差数列；1，b₁，b₂，b₃，4成等比数列，则

  a

  1

  -

  a

  2

  b

  2

  的值等于（　　）

  A．- 1 2

  B． 1 2

  C．± 1 2

  D． 1 4
  组卷：534引用：9难度：0.9

  解析

• 5．设z为复数，i为虚数单位，关于x的方程x²+zx+i=0有实数根，则复数z的模|z|的范围是（　　）

  A．[2，+∞）

  B． [ 2 ， + ∞ ）

  C．[4，+∞）

  D．[8，+∞）
  组卷：36引用：2难度：0.6

  解析

• 6．如图，样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（　　）
  

  A．第一组

  B．第二组

  C．第三组

  D．第四组
  组卷：89引用：3难度：0.9

  解析

• 7．双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的两个焦点为F₁（-c,0），F₂（c,0），以C的虚轴为直径的圆记为D，过F₁作D的切线与C的渐近线

  y

  =

  -

  b

  a

  x

  交于点H，若△F₁HO的面积为

  2

  4

  ac

  ，则C的离心率为（　　）

  A． 6

  B．2

  C． 3

  D． 2
  组卷：67引用：3难度：0.6

  解析

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，直线l：y=kx+m与C交于A，B两点，当k=m=1时，直线l经过椭圆的上顶点，且△ABF₂的周长为4a.
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）若D为AB中点，当D在圆x²+y²=

  3

  4

  上时，求△OAB面积的最大值．
  组卷：70引用：2难度：0.5

  解析

• 22．三个互不相同的函数y=f（x），y=g（x）与y=h（x）在区间D上恒有f（x）≥h（x）≥g（x）或恒有f（x）≤h（x）≤g（x），则称y=h（x）为y=f（x）与y=g（x）在区间D上的“分割函数”．
  （1）设h₁（x）=4x,h₂（x）=x+1，试分别判断y=h₁（x）、y=h₂（x）是否是y=2x²+2与y=-x²+4x在区间（-∞，+∞）上的“分割函数”，请说明理由；
  （2）求所有的二次函数y=ax²+cx+d（a≠0）（用a表示c,d），使得该函数是y=2x²+2与y=4x在区间（-∞，+∞）上的“分割函数”；
  （3）若[m,n]⊆[-2，2]，且存在实数k,b,使得y=kx+b为y=x⁴-4x²与y=4x²-16在区间[m,n]上的“分割函数”，求n-m的最大值．
  组卷：201引用：4难度：0.2

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