2011年广东省深圳市南联学校九年级“数学创新与知识应用”竞赛试卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

• 1．已知非零实数a,b满足|2a-4|+|b+2|+

  （

  a

  -

  3

  ）

  b

  2

  +4=2a,则a+b等于（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．2
  组卷：3094引用：25难度：0.9

  解析

• 2．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动{即（0，0）-（0，1）-（1，1）-（1，0）…}，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（　　）

  A．（4，0）

  B．（5，0）

  C．（0，5）

  D．（5，5）
  组卷：2529引用：44难度：0.5

  解析

• 3．因为sin30°=

  1

  2

  ，sin210°=

  -

  1

  2

  ，所以sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°；因为sin45°=

  2

  2

  ，sin225°=

  -

  2

  2

  ，所以sin225°=sin（180°+45°）=-sin45°，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin（180°+α）=-sinα，由此可知：sin240°=（　　）

  A． - 1 2

  B． - 2 2

  C． - 3 2

  D． - 3
  组卷：719引用：50难度：0.9

  解析

• 4．如图，已知∠a的对边OP⊥AB，直线AB的方程为

  y

  =

  -

  3

  3

  x

  +

  3

  3

  ，则cosa=（　　）

  A． 1 2

  B． 2 2

  C． 3 2

  D． 3 3
  组卷：470引用：14难度：0.7

  解析

三、解答题（共4小题，满分40分）

• 13．为丰富学生的校园文化生活，振兴中学举办了一次学生才艺比赛，三个年级都有男、女各一名选手进入决赛，初一年级选手编号为男1号、女1号，初二年级选手编号为男2号、女2号，初三年级选手编号为男3号、女3号．比赛规则是男、女各一名选手组成搭档展示才艺．
  （1）用列举法说明所有可能出现搭档的结果；
  （2）求同一年级男、女选手组成搭档的概率；
  （3）求高年级男选手与低年级女选手组成搭档的概率．
  组卷：221引用：21难度：0.5

  解析

• 14．阅读理解：
  课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
  如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
  小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
  感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
  （1）问题解决：
  受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
  ①求证：BE+CF＞EF；
  ②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
  （2）问题拓展：
  如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
  
  组卷：2732引用：10难度：0.1

  解析