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2023-2024学年湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学高二（上）开学数学试卷

发布：2024/8/11 15:0:5

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．设
e
1
，
e
1
是两个不共线的向量，且
a
=
e
1
+λ
e
2
与
b
=-
1
3
e
2
-
e
1
共线，则实数λ=（　　）
A．-1 B．3 C．-
1
3
D．
1
3
组卷：420引用：4难度：0.9
解析
2．若a²+b²=c²，则a,b,c三个数称之为勾股数，从3，4，12，13中任取两个，能和5组成勾股数的概率是（　　）
A．
1
6
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
2
组卷：75引用：3难度：0.7
解析
3．甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是p₁、p₂、p₃，那么至少有一人解决这道题的概率是（　　）
A．p₁+p₂+p₃ B．1-（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）
C．1-p₁p₂p₃ D．p₁p₂p₃
组卷：45引用：5难度：0.9
解析
4．已知向量
a
，
b
满足|
a
|=3，|
b
|=1，且（2
a
-9
b
）⊥
a
，则2
a
-9
b
与
b
的夹角的余弦值为（　　）
A．-
5
3
B．-
5
9
C．
2
3
D．
5
9
组卷：372引用：5难度：0.7
解析
5．若A、B为一对对立事件，其概率分别为P（A）=
4
x
，P（B）=
1
y
，则x+y的最小值为（　　）
A．9 B．10 C．6 D．8
组卷：79引用：9难度：0.7
解析
6．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若
PA
=
a
，
PB
=
b
，
PC
=
c
，则
BE
=（　　）
A．
1
2
a
+
3
2
b
+
1
2
c
B．
1
2
a
-
1
2
b
-
1
2
c
C．
1
2
a
-
3
2
b
+
1
2
c
D．
1
2
a
+
3
2
b
-
1
2
c
组卷：356引用：8难度：0.5
解析
7．在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=4，AA₁=3，∠BAD=
π
2
，∠BAA₁=∠A₁AD=
π
3
，
CM
=
2
M
C
1
，则AM的长为（　　）
A．2
6
B．
42
C．2
13
D．2
11
组卷：61引用：3难度：0.5
解析

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四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21．某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数）；
（2）根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数；
（3）决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为
x
1
=8.4，
S
2
1
=0.015，媒体得分的平均数和方差分别为
x
2
=8.8，
S
2
2
=0.054，大众得分的平均数和方差分别为
x
3
=9.4，
S
2
3
=0.064，将这30名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差（结果保留三位小数）．
附：方差S²=
1
n
n
∑
i
=
1
（x_i-
x
）²=
1
n
n
∑
i
=
1
x
2
i
-
x
²．
组卷：95引用：4难度：0.8
解析
22．如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别在棱AA₁，CC₁上，且A₁M=
1
3
AA₁，CN=
1
3
CC₁，且∠A₁AD=∠A₁AB=∠DAB=60°．
（Ⅰ）用向量
A
A
1
，
AD
，
AB
表示向量
MN
；
（Ⅱ）求证：D，M，B₁，N共面；
（Ⅲ）当
A
A
1
AB
为何值时，AC₁⊥A₁B．
组卷：248引用：7难度：0.6
解析

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A．p₁+p₂+p₃	B．1-（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）
C．1-p₁p₂p₃	D．p₁p₂p₃

A． 1 2 a + 3 2 b + 1 2 c	B． 1 2 a - 1 2 b - 1 2 c
C． 1 2 a - 3 2 b + 1 2 c	D． 1 2 a + 3 2 b - 1 2 c

2023-2024学年湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学高二（上）开学数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．设e1，e1是两个不共线的向量，且a=e1+λe2与b=-13e2-e1共线，则实数λ=（ ）

2．若a2+b2=c2，则a,b,c三个数称之为勾股数，从3，4，12，13中任取两个，能和5组成勾股数的概率是（ ）

3．甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是p1、p2、p3，那么至少有一人解决这道题的概率是（ ）

4．已知向量a，b满足|a|=3，|b|=1，且（2a-9b）⊥a，则2a-9b与b的夹角的余弦值为（ ）

5．若A、B为一对对立事件，其概率分别为P（A）=4x，P（B）=1y，则x+y的最小值为（ ）

6．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA=a，PB=b，PC=c，则BE=（ ）

7．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=3，∠BAD=π2，∠BAA1=∠A1AD=π3，CM=2MC1，则AM的长为（ ）

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22．如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M=13AA1，CN=13CC1，且∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°．（Ⅰ）用向量AA1，AD，AB表示向量MN；（Ⅱ）求证：D，M，B1，N共面；（Ⅲ）当AA1AB为何值时，AC1⊥A1B．

1．设
e
1
，
e
1
是两个不共线的向量，且
a
=
e
1
+λ
e
2
与
b
=-
1
3
e
2
-
e
1
共线，则实数λ=（　　）

2．若a²+b²=c²，则a,b,c三个数称之为勾股数，从3，4，12，13中任取两个，能和5组成勾股数的概率是（　　）

3．甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是p₁、p₂、p₃，那么至少有一人解决这道题的概率是（　　）

4．已知向量
a
，
b
满足|
a
|=3，|
b
|=1，且（2
a
-9
b
）⊥
a
，则2
a
-9
b
与
b
的夹角的余弦值为（　　）

5．若A、B为一对对立事件，其概率分别为P（A）=
4
x
，P（B）=
1
y
，则x+y的最小值为（　　）

6．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若
PA
=
a
，
PB
=
b
，
PC
=
c
，则
BE
=（　　）

7．在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=4，AA₁=3，∠BAD=
π
2
，∠BAA₁=∠A₁AD=
π
3
，
CM
=
2
M
C
1
，则AM的长为（　　）