2021-2022学年北京二中高三（上）期中数学试卷

一、选择题。（共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

• 1．设命题p：∃x＞0，sinx＞2^x-1，则￢p为（　　）

  A．∀x＞0，sinx≤2x-1	B．∃x＞0，sinx＜2x-1
  C．∀x＞0，sinx＜2x-1	D．∃x＞0，sinx≤2x-1
  组卷：86引用：4难度：0.9

  解析

• 2．已知复数z的虚部为1，且|z|=2，则z可以是（　　）

  A．1+i

  B．1-i

  C． 3 + i

  D． 3 - i
  组卷：83引用：2难度：0.8

  解析

• 3．函数f（x）=x⁴-2x³的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）

  A．y=-2x-1

  B．y=-2x+1

  C．y=2x-3

  D．y=2x+1
  组卷：6120引用：32难度：0.8

  解析

• 4．已知a=log₂0.2，b=2^0.2，c=0.2^0.3，则（　　）

  A．a＜b＜c

  B．a＜c＜b

  C．c＜a＜b

  D．b＜c＜a
  组卷：3581引用：117难度：0.9

  解析

• 5．已知向量

  a

  为单位向量，|

  b

  |=

  3

  ，且向量

  a

  与向量

  b

  的夹角为

  π

  3

  ，则

  a

  •（

  a

  +

  3

  b

  ）的值为（　　）

  A．-2

  B．- 1 2

  C． 5 2

  D．4
  组卷：115引用：2难度：0.7

  解析

• 6．已知参数方程

  x = 3 t - 4 t 3

  y = 2 t 1 - t 2

  ，t∈[-1，1]，以下哪个图符合该方程（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：463引用：3难度：0.6

  解析

• 7．已知抛物线C：y²=12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|=（　　）

  A．16

  B．10

  C．12

  D．8
  组卷：305引用：9难度：0.6

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三、解答题。（共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

• 20．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  1

  2

  ，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，|AB|=3．
  （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
  （Ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意点到直线PA，PB的距离均相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：281引用：8难度：0.5

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• 21．在无穷数列{a_n}中，a₁，a₂是给定的正整数，a_n+2=|a_n+1-a_n|，n∈N^*．
  （Ⅰ）若a₁=5，a₂=3，写出a₂₀₁₉，a₂₀₂₀，a₂₀₂₁的值；
  （Ⅱ）证明：存在m∈N^*，当n＞m时，数列{a_n}中的项呈周期变化；
  （Ⅲ）若a₁，a₂的最大公约数是k,证明数列{a_n}中必有无穷多项为k.
  组卷：246引用：2难度：0.1

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