2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的)

• 1．如图，空间四边形OABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN=2NB，则

  MN

  =（　　）

  A． 1 2 a - 2 3 b - 1 3 c	B． - 1 3 a + 1 2 b + 2 3 c
  C． 2 3 a - 1 2 b + 1 3 c	D． - 1 2 a + 2 3 b + 1 3 c
  组卷：899引用：10难度：0.7

  解析

• 2．已知圆x²+y²+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（　　）

  A．-2

  B．-4

  C．-6

  D．-8
  组卷：10268引用：79难度：0.9

  解析

• 3．已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=5，AC=3，BD=4，

  CD

  =

  5

  2

  ，则这个二面角的度数为（　　）

  A．30°

  B．45°

  C．90°

  D．150°
  组卷：386引用：10难度：0.4

  解析

• 4．已知方程

  x

  2

  5

  -

  m

  +

  y

  2

  m

  -

  2

  =

  1

  表示焦点在y轴上的椭圆，且焦距为2，则m的值为（　　）

  A．4

  B．5

  C．7

  D．8
  组卷：521引用：3难度：0.8

  解析

• 5．若数列{

  2

  a

  n

  +

  1

  }是等差数列，a₁=1，a₃=-

  1

  3

  ，则a₅=（　　）

  A．- 7 9

  B． 7 9

  C． 3 5

  D．- 3 5
  组卷：211引用：2难度：0.8

  解析

• 6．已知抛物线y²=16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：（x-6）²+（y-2）²=4上，则|PQ|+|PF|的最小值为（　　）

  A．4

  B．6

  C．8

  D．10
  组卷：340引用：7难度：0.6

  解析

• 7．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  e

  x

  x

  ，若

  f

  ′

  （

  x

  0

  ）

  =

  e

  2

  4

  ，则x₀=（　　）

  A． 1 2

  B．2

  C． 1 e

  D．e
  组卷：476引用：2难度：0.7

  解析

四、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．已知椭圆C：

  y

  2

  a

  2

  +

  x

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F₁，F₂，过点F₁与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF₂的面积为

  3

  ，椭圆C的长轴长是短轴长的2倍．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A、B两个不同的点，若存在实数λ，使得

  OP

  =

  1

  4

  OA

  +

  λ

  4

  OB

  ，求m的取值范围．
  组卷：193引用：2难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=lnx-

  1

  2

  mx-1，m∈R．
  （1）若该函数在x=1处的切线与直线2x+y+1=0垂直，求m的值；
  （2）若函数g（x）=xf（x）在其定义域上有两个极值点x₁，x₂．
  ①求m的取值范围；
  ②证明：x₁x₂＞e²．
  组卷：239引用：3难度：0.4

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