2022-2023学年重庆市南开中学高二（上）期末数学试卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）

• 1．已知f'（x）是函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  sinx

  -

  sin

  π

  6

  的导函数，则

  f

  ′

  （

  π

  6

  ）

  =（　　）

  A． - 1 2

  B． - 3 2

  C． 1 2

  D． 3 2
  组卷：362引用：1难度：0.8

  解析

• 2．在等差数列{a_n}中，若a₃+a₁₇=30，则a₉+a₁₀+a₁₁=（　　）

  A．30

  B．40

  C．45

  D．60
  组卷：601引用：2难度：0.9

  解析

• 3．已知抛物线x²=2py（p＞0），若抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，则p=（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C．2

  D．3
  组卷：186引用：1难度：0.8

  解析

• 4．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的

  5

  4

  ，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的

  1

  2

  ，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（　　）

  A．“徵、商、羽”的频率成等比数列

  B．“宫、徵、商”的频率成等比数列

  C．“商、羽、角”的频率成等比数列

  D．“宫、商、角”的频率成等比数列
  组卷：132引用：4难度：0.8

  解析

• 5．设函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  x

  -

  2

  x

  -

  alnx

  在（1，2）上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）

  A．[4，5]

  B．（5，+∞）

  C．[4，+∞）

  D．[5，+∞）
  组卷：1048引用：8难度：0.7

  解析

• 6．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  相切的两条互相垂直的直线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆x²+y²=a²+b²，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若圆

  C

  ：

  （

  x

  -

  a

  ）

  2

  +

  （

  y

  -

  3

  a

  ）

  2

  =

  4

  （

  a

  ∈

  R

  ）

  上存在点P，使得过点P可作两条互相垂直的直线与椭圆

  x

  2

  3

  +

  y

  2

  =

  1

  相切，则实数a的取值范围为（　　）

  A．[0，2]

  B．[-2，2]

  C．[0，4]

  D．[-4，4]
  组卷：156引用：3难度：0.7

  解析

• 7．若数列{a_n}满足a₁=1，a₂=4，且对于n∈N^*（n≥2）都有a_n+1=2a_n-a_n-1+2，则

  1

  a

  2

  -

  1

  +

  1

  a

  4

  -

  1

  +

  1

  a

  6

  -

  1

  +

  ⋯

  +

  1

  a

  2022

  -

  1

  =（　　）

  A． 2021 2022

  B． 1010 2022

  C． 2022 2023

  D． 1011 2023
  组卷：182引用：2难度：0.6

  解析

四.解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．已知函数f（x）=e^x（x²+2ax+2a）（a∈R），其中e是自然对数的底数．
  （1）讨论函数f（x）的单调性；
  （2）若

  f

  （

  x

  ）

  ≤

  a

  e

  2

  在区间[-2，0]上有解，求实数a的取值范围．
  组卷：394引用：1难度：0.6

  解析

• 22．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左右焦点为F₁、F₂，且|F₁F₂|=4，直线l过
  F₂且与椭圆C相交于A，B两点，当F₂是线段AB的中点时，

  |

  AB

  |

  =

  2

  6

  3

  ．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）当线段AB的中点M不在x轴上时，设线段AB的中垂线与x轴交于点N，与y轴交于点P，O为椭圆的中心，记△OMN的面积为S₁，△APM的面积为S₂，当

  S

  1

  S

  2

  取得最大值时，求直线l的方程．
  组卷：118引用：1难度：0.3

  解析