《第1章 导数及其应用》2010年单元测试卷（2）

一、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）

• 1．直线y=a与函数y=x³-3x的图象有相异三个交点，则a的取值范围是（　　）

  A．（-2，2）

  B．（-2，0）

  C．（0，2）

  D．（2，+∞）
  组卷：94引用：9难度：0.9

  解析

• 2．函数f（x）=x³+ax²-3x-9，已知f（x）的两个极值点为x₁，x₂，则x₁•x₂=（　　）

  A．9

  B．-9

  C．1

  D．-1
  组卷：333引用：5难度：0.7

  解析

• 3．已知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列{

  1

  f

  （

  n

  ）

  }的前n项和为S_n，则S₂₀₁₁的值为（　　）

  A． 2011 2012

  B． 2008 2009

  C． 2009 2010

  D． 2010 2011
  组卷：370引用：14难度：0.7

  解析

• 4．已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则（　　）

  A．f（2）＞e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）

  B．f（2）＜e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）

  C．f（2）＞e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）

  D．f（2）＜e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）
  组卷：311引用：23难度：0.9

  解析

二、填空题（共2小题，每小题4分，满分8分）

• 5．已知二次函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  a

  x

  2

  +

  （

  a

  2

  +

  2

  ）

  x

  -

  1

  4

  在x=2处的切线斜率为2，则该函数的最大值为

  ．
  组卷：22引用：1难度：0.9

  解析

• 6．已知点P在曲线

  y

  =

  1

  3

  x

  3

  -

  x

  +

  2

  3

  上移动，若经过点P的曲线的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是

  ．
  组卷：246引用：3难度：0.7

  解析

三、解答题（共19小题，满分0分）

• 7．某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个圆柱和一个半球组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为34πcm³．设圆柱的底面直径为4x（cm），工艺品的表面积为S（cm²）．
  （1）试写出S关于x的函数关系式；
  （2）怎样设计才能使工艺品的表面积最小？
  组卷：43引用：3难度：0.5

  解析

• 8．设函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lo

  g

  a

  x

  -

  2

  x

  +

  2

  ，

  x

  ∈

  [

  m

  ,

  n

  ]

  是单调减函数，值域为[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]．
  （1）求实数a的取值范围；
  （2）求证：2＜m＜4＜n；
  （3）若函数

  g

  （

  x

  ）

  =

  1

  +

  lo

  g

  a

  （

  x

  -

  1

  ）

  -

  lo

  g

  a

  x

  -

  2

  x

  +

  2

  ，

  x

  ∈

  [

  m

  ,

  n

  ]

  的最大值为A，求证：0＜A＜1．
  组卷：314引用：4难度：0.5

  解析

三、解答题（共19小题，满分0分）

• 24．已知f（x）=xlnx,g（x）=x³+ax²-x+2
  （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
  （Ⅱ）求函数f（x）在[t,t+2]（t＞0）上的最小值；
  （Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．
  组卷：760引用：31难度：0.1

  解析

• 25．三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象如图所示，直线BD∥AC，且直线BD与函数图象切于点B，交于点D，直线AC与函数图象切于点C，交于点A．
  （1）在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b,并求f（x）的单调区间；
  （2）设点A、B、C、D的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，求证：（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．
  组卷：18引用：4难度：0.5

  解析