2023-2024学年浙江省杭州师大附中高二（上）期中数学试卷

一．单项选择（共8题，每小题5分；满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．直线l的方向向量为（1，-1），则该直线的倾斜角为（　　）

  A． π 4

  B． π 3

  C． 3 π 4

  D． 2 π 3
  组卷：97引用：8难度：0.7

  解析

• 2．已知三棱锥O-ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，用

  a

  ，

  b

  ，

  c

  表示

  MN

  ，则

  MN

  等于（　　）

  A． 1 2 （ b + c - a ）

  B． 1 2 （ a + b - c ）

  C． 1 2 （ a - b + c ）

  D． 1 2 （ c - a - b ）
  组卷：2892引用：41难度：0.9

  解析

• 3．若P是圆C：（x+3）²+（y-3）²=1上任一点，则点P到直线y=kx-1距离的值不可能等于（　　）

  A．4

  B．6

  C． 3 2 + 1

  D．8
  组卷：201引用：3难度：0.7

  解析

• 4．某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（　　）

  A．中位数是3，众数是2	B．平均数是3，中位数是2
  C．方差是2.4，平均数是2	D．平均数是3，众数是2
  组卷：174引用：6难度：0.8

  解析

• 5．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的长轴长为

  2

  6

  ，且与y轴的一个交点是

  （

  0

  ，-

  2

  ）

  ，过点

  P

  （

  3

  2

  ，

  1

  2

  ）

  的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足

  PA

  +

  PB

  =

  0

  ，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则|OM|的最小值为（　　）

  A．1

  B． 2

  C．2

  D． 2 2
  组卷：92引用：4难度：0.5

  解析

• 6．已知点P（4，a），若圆O：x²+y²=4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（　　）

  A． [ - 3 3 ， 3 3 ]	B． [ - 2 5 ， 2 5 ]
  C． （ - ∞ ，- 3 3 ] ∪ [ 3 3 ， + ∞ ）	D． （ - ∞ ，- 2 5 ] ∪ [ 2 5 ， + ∞ ）
  组卷：143引用：5难度：0.5

  解析

• 7．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD．∠BDC=90°，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中点，H是△ABD内的动点（含边界），且EH∥平面ACD，则

  CA

  •

  EH

  的取值范围是（　　）

  A．[0，3]

  B． [ 1 2 ， 3 ]

  C． [ 1 2 ， 11 2 ]

  D． [ 3 ， 11 2 ]
  组卷：205引用：16难度：0.7

  解析

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，D为BC的中点，平面BB₁C₁C⊥平面ABC．
  （1）证明：AD⊥BB₁；
  （2）已知四边形BB₁C₁C是边长为2的菱形，且∠B₁BC=60°，线段CC₁上的点E，且

  CE

  =λ

  C

  C

  1

  （0≤λ≤1），当平面EAD与平面EAC的夹角的余弦值为

  15

  5

  时，求λ的值．
  组卷：50引用：1难度：0.4

  解析

• 22．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的离心率为

  2

  ，点P（2，-1）在双曲线C上．
  （1）求双曲线C的方程；
  （2）点A、B在双曲线C上，直线PA、PB与y轴分别相交于M、N两点，点Q在直线AB上，若坐标原点O为线段MN的中点，PQ⊥AB，证明：存在定点R，使得|QR|为定值．
  组卷：101引用：1难度：0.5

  解析