人教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第28章 二次函数（22）

一、解答题（共30小题）

• 1．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（-1，-1），（0，0），（

  2

  ，

  2

  ），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
  （1）若点P（2，m）是反比例函数y=

  n

  x

  （n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
  （2）函数y=3kx+s-1（k,s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
  （3）若二次函数y=ax²+bx+1（a,b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且满足-2＜x₁＜2，|x₁-x₂|=2，令t=b²-2b+

  157

  48

  ，试求出t的取值范围．
  组卷：2710引用：50难度：0.3

  解析

• 2．如图，已知抛物线y=-x²+2x+c经过点C（0，3），且与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），线段BC与抛物线的对称轴相交于点P．M、N分别是线段OC和x轴上的动点，运动时保持∠MPN=90°不变．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）①试猜想PN与PM的数量关系，并说明理由；
  ②在①的前提下，连接MN，设OM=m.△MPN的面积为S，求S的最大值．
  组卷：391引用：50难度：0.5

  解析

• 3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-

  1

  2

  x²+

  3

  2

  x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l,直线l与二次函数y=-

  1

  2

  x²+

  3

  2

  x+2的图象相交于点D，E．
  （1）写出点A，点B的坐标；
  （2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；
  （3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：2590引用：51难度：0.1

  解析

• 4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax²+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
  
  （1）求a,b的值；
  （2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t,MN的长为d,求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
  （3）在（2）的条件下，当S_△ACN=S_△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR-∠BRN=45°时，求点R的坐标．
  组卷：2111引用：56难度：0.5

  解析

• 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（-4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
  
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．
  ①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
  ②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．
  组卷：1039引用：51难度：0.5

  解析

• 6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2x与x轴正半轴交于点A，顶点为B．
  （1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；
  （2）已知点C（0，-2），直线AC与BO相交于点D，与该抛物线对称轴交于点E，且△OCD≌△BED，求m的值；
  （3）在由（2）确定的抛物线上有一点N（n,-

  5

  3

  ），N在对称轴的左侧，点F，G在对称轴上，F在G上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长最小时：
  ①求点F的坐标；
  ②设点P在抛物线上，在y轴上是否存在点H，使以N，F，H，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：1653引用：51难度：0.5

  解析

• 7．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，

  1

  4

  ）；点F（0，1）在y轴上．直线y=-1与y轴交于点H．
  （1）求二次函数的解析式；
  （2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
  （3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
  组卷：3690引用：74难度：0.1

  解析

• 8．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过原点，与x轴相交于点E（8，0），抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m,0）是线段OE上一动点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连接BC和AD．
  
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；
  （3）当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
  组卷：1337引用：54难度：0.1

  解析

• 9．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=-x²+2nx-n²+2n的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4．
  （1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；
  （2）小丽发现：将抛物线y=-x²+2nx-n²+2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；
  （3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列），

  PA

  AB

  =

  1

  t

  ．
  ①写出C点的坐标：C（

   

  ，

   

  ）（坐标用含有t的代数式表示）；
  ②若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．
  
  组卷：1161引用：52难度：0.1

  解析

• 10．如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a,0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
  （1）求此抛物线的解析式；
  （2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
  （3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．
  
  组卷：3484引用：61难度：0.1

  解析

一、解答题（共30小题）

• 29．如图（1），抛物线y=-

  1

  4

  x²+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，0）．
  （1）求此抛物线的解析式；
  （2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，以OE为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；
  ②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：893引用：53难度：0.1

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• 30．如图，已知抛物线经过点A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）．
  （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
  （2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=

  1

  5

  EF，请求出点P的坐标；
  （3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．
  组卷：1095引用：53难度：0.1

  解析