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2022-2023学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（四）

发布：2025/1/1 5:0:2

一、单选题

1．若a,b∈R，则“复数z=a+bi为纯虚数（i是虚数单位）”是“b≠0”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：98引用：5难度：0.8
解析
2．已知集合M={x|lg（x-2）≤0}，N={x||x-1|＜2}，则M∪N=（　　）
A．∅ B．（2，3） C．（-1，3] D．{0，1，2，3}
组卷：539引用：4难度：0.8
解析
3．已知曲线y=4
x
在点（1，4）处的切线的倾斜角为
α
2
，则
1
+
sinα
+
cosα
1
-
2
cos
（
α
+
π
4
）
=（　　）
A．
2
2
B．
2
2
C．
1
2
D．1
组卷：171引用：5难度：0.7
解析
4．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
L
=
L
0
D
G
G
0
，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L₀表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G₀表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（　　）（参考数据：lg2≈0.3010）
A．72 B．74 C．76 D．78
组卷：419引用：17难度：0.8
解析
5．已知（x-1）⁴+2x⁵=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+⋯+a₅（x+1）⁵，则a₂=（　　）
A．-2 B．2 C．4 D．12
组卷：858引用：7难度：0.7
解析
6．已知函数f（x）满足f（-x）=-f（x），且对任意的x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，都有
f
（
x
2
）
-
f
（
x
1
）
x
2
-
x
1
＞2，f（1）=2020，则满足不等式f（x-2020）＞2（x-1011）的x的取值范围是（　　）
A．（2021，+∞） B．（2020，+∞） C．（1011，+∞） D．（1010，+∞）
组卷：588引用：10难度：0.5
解析
7．如图所示，已知F₁和F₂分别是双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左、右焦点，圆（x+c）²+y²=4c²与双曲线位于x轴上方的图像从左到右依次交于A、B两点，如果∠AF₁F₂=120°，则∠BF₂F₁的余弦值为（　　）
A．
1
-
3
2
B．
3
-
1
2
C．
1
2
D．
3
2
组卷：120引用：2难度：0.5
解析

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四、解答题

21．设椭圆E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左右焦点F₁，F₂分别是双曲线
x
2
4
-
y
2
=1的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为
2
10
5
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且
OA
⊥
OB
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由．
组卷：142引用：4难度：0.4
解析
22．已知函数f（x）=（x+a）²+blnx,a,b∈R．
（1）若直线y=2ax是曲线y=f（x）的切线，求a²-b的最小值；
（2）设b=1，若函数f（x）有两个极值点x₁与x₂，且x₁＜x₂，证明
f
（
x
1
）
-
f
（
x
2
）
x
1
-
x
2
＞
a
-
2
a
．
组卷：173引用：2难度：0.2
解析

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A．充要条件	B．充分不必要条件
C．必要不充分条件	D．既不充分也不必要条件

2022-2023学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（四）

一、单选题

1．若a,b∈R，则“复数z=a+bi为纯虚数（i是虚数单位）”是“b≠0”的（ ）

2．已知集合M={x|lg（x-2）≤0}，N={x||x-1|＜2}，则M∪N=（ ）

3．已知曲线y=4x在点（1，4）处的切线的倾斜角为α2，则1+sinα+cosα1-2cos（α+π4）=（ ）

5．已知（x-1）4+2x5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+⋯+a5（x+1）5，则a2=（ ）

6．已知函数f（x）满足f（-x）=-f（x），且对任意的x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2，都有f（x2）-f（x1）x2-x1＞2，f（1）=2020，则满足不等式f（x-2020）＞2（x-1011）的x的取值范围是（ ）

7．如图所示，已知F1和F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，圆（x+c）2+y2=4c2与双曲线位于x轴上方的图像从左到右依次交于A、B两点，如果∠AF1F2=120°，则∠BF2F1的余弦值为（ ）

四、解答题

22．已知函数f（x）=（x+a）2+blnx,a,b∈R．（1）若直线y=2ax是曲线y=f（x）的切线，求a2-b的最小值；（2）设b=1，若函数f（x）有两个极值点x1与x2，且x1＜x2，证明f（x1）-f（x2）x1-x2＞a-2a．

1．若a,b∈R，则“复数z=a+bi为纯虚数（i是虚数单位）”是“b≠0”的（　　）

2．已知集合M={x|lg（x-2）≤0}，N={x||x-1|＜2}，则M∪N=（　　）

3．已知曲线y=4
x
在点（1，4）处的切线的倾斜角为
α
2
，则
1
+
sinα
+
cosα
1
-
2
cos
（
α
+
π
4
）
=（　　）

5．已知（x-1）⁴+2x⁵=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+⋯+a₅（x+1）⁵，则a₂=（　　）

6．已知函数f（x）满足f（-x）=-f（x），且对任意的x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，都有
f
（
x
2
）
-
f
（
x
1
）
x
2
-
x
1
＞2，f（1）=2020，则满足不等式f（x-2020）＞2（x-1011）的x的取值范围是（　　）

7．如图所示，已知F₁和F₂分别是双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左、右焦点，圆（x+c）²+y²=4c²与双曲线位于x轴上方的图像从左到右依次交于A、B两点，如果∠AF₁F₂=120°，则∠BF₂F₁的余弦值为（　　）

22．已知函数f（x）=（x+a）²+blnx,a,b∈R．
（1）若直线y=2ax是曲线y=f（x）的切线，求a²-b的最小值；
（2）设b=1，若函数f（x）有两个极值点x₁与x₂，且x₁＜x₂，证明
f
（
x
1
）
-
f
（
x
2
）
x
1
-
x
2
＞
a
-
2
a
．