2011年九年级数学学业水平竞赛题

一、解答题（共13小题，满分120分）

• 1．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．
  （1）上述三个条件中，哪两个条件

  可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
  （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．
  组卷：265引用：22难度：0.7

  解析

• 2．如图，矩形ABCD中，M是AD的中点．
  （1）求证：△ABM≌△DCM；
  （2）请你探索，当矩形ABCD中的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由．
  组卷：57引用：2难度：0.5

  解析

• 3．如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
  （1）求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；
  （2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
  组卷：60引用：4难度：0.3

  解析

• 4．如图所示的平面直角坐标系中，有一条抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为直线x=1，B（3，0），C（0，-3）．
  （1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
  （2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之和最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：121引用：1难度：0.5

  解析

一、解答题（共13小题，满分120分）

• 12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点
  （不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
  （1）求证：

  EG

  AD

  =

  CG

  CD

  ；
  （2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
  （3）当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由．
  组卷：774引用：3难度：0.1

  解析

• 13．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60度．
  （1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
  （2）若直线l向右平移到图2，图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
  （3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PF=

  1

  2

  PE？请写出探究结果，并说明理由．
  （说明：结论中不得含有未标识的字母）
  组卷：750引用：22难度：0.3

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