2004年第2届“创新杯”全国数学邀请赛试卷（初二第2试）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

• 1．最接近

  2004

  +

  2004

  的整数是（　　）

  A．44

  B．45

  C．46

  D．47
  组卷：167引用：1难度：0.9

  解析

• 2．已知a＜b＜c,那么

  1

  a

  -

  b

  +

  1

  b

  -

  c

  +

  1

  c

  -

  a

  的值（　　）

  A．大于0	B．等于0
  C．小于0	D．与0的大小不能确定
  组卷：86引用：1难度：0.9

  解析

• 3．若方程a|x|=x+a（a＞0且a≠±1）有两个解，则a的取值范围是（　　）

  A．0＜a＜1	B．0＜a＜1或a＞1
  C．a＞1	D．不存在这样的a
  组卷：175引用：1难度：0.9

  解析

• 4．命题甲：一组对边相等，一组对角也相等的四边形是平行四边形；命题乙：一组对角相等，过这组对角顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．在这两个命题中（　　）

  A．甲是真命题，乙是真命题

  B．甲是真命题，乙是假命题

  C．甲是假命题，乙是真命题

  D．甲是假命题，乙是假命题
  组卷：119引用：1难度：0.9

  解析

• 5．使

  n

  2

  +

  7

  n

  +

  3

  是自然数的正整数n的个数是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：249引用：1难度：0.7

  解析

• 6．某房间的地面是一个矩形，其大小为32.1米×12.3米．已铺上了边长为10厘米的正方形瓷砖，一只蚂蚁沿地面的一条对角线爬行，它离开一个墙角后，达到相对的墙角前经过的瓷砖交汇点（一个瓷砖交汇点是指四块瓷砖四个顶点的交汇处）的个数是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：31引用：1难度：0.3

  解析

• 7．由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面上涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆．那么大立方体被涂过油漆的面数是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：166引用：2难度：0.3

  解析

三、解答题（共2小题，满分50分）

• 21．已知a_i，b_i，p,q（i=1，2，…，2004）是不等于零的实数，且满足：

  a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + … + a 2 2004 = p 2 ；

  a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + … + a 2004 b 2004 = pq ；

  b 2 1 + b 2 2 + b 2 3 + … + b 2 2004 = q 2 .

  
  求证：

  a

  1

  b

  1

  =

  a

  2

  b

  2

  =

  a

  3

  b

  3

  =

  …

  =

  a

  2004

  b

  2004

  =

  p

  q

  ．
  组卷：33引用：1难度：0.6

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• 22．△ABC中，AB=13，BC=14，CA=15．P是△ABC内部或边界上的一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别是x,y,z.记u=x+y+z
  （1）使得u=13的点P是否存在？若存在，请找出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由．
  （2）使得u=12.5的点P是否存在？若存在，请找出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由．
  组卷：118引用：1难度：0.3

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