2020年高中数学开放题专项练习（2）

• 1．已知{a_n}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为S_n，满足a₃=12，___．是否存在正整数k,使得S_k＞2020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．
  从①q=2，②q=

  1

  2

  ，③q=-2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
  组卷：353引用：5难度：0.6

  解析

• 2．给定数列{A_n}，若对任意m,n∈N*且m≠n,A_m+A_n是{A_n}中的项，则称{A_n}为“H数列”．设数列{a_n}的前n项和为S_n．
  （1）请写出一个数列{a_n}的通项公式

  ，此时数列{a_n}是“H数列”；
  （2）设{a_n}既是等差数列又是“H数列”，且a₁=6，a₂∈N*，a₂＞6，求公差d的所有可能值；
  组卷：80引用：3难度：0.4

  解析

• 3．在①tanα=4

  3

  ，②7sin2α=2sinα，③cos

  α

  2

  =

  2

  7

  7

  这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．
  已知

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，

  β

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，cos（α+β）=-

  1

  3

  ，____，求cosβ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
  组卷：173引用：5难度：0.7

  解析

• 4．在①函数

  f

  （

  x

  -

  π

  3

  ）

  为奇函数
  ②当

  x

  =

  π

  3

  时，

  f

  （

  x

  ）

  =

  3

  
  ③

  2

  π

  3

  是函数f（x）的一个零点
  这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
  已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  sin

  （

  ωx

  +

  φ

  ）

  （

  ω

  ＞

  0

  ，

  0

  ＜

  φ

  ＜

  π

  2

  ）

  ，f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为π，_____．
  （1）求函数f（x）的解析式；
  （2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．
  组卷：366引用：8难度：0.5

  解析

• 12．在①a₄=b₄，②a₂+b₅=2，③S₆=-24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由．
  设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，{b_n}是等比数列，______，b₁=a₅，b₃=-9，b₆=243．是否存在k,使得S_k＞S_k-1且S_k+1＜S_k？
  组卷：588引用：6难度：0.5

  解析

• 13．在①3asinC=4ccosA，②2bsin

  B

  +

  C

  2

  =

  5

  asinB这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
  在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知______，a=3

  2

  ．
  （1）求sinA；
  （2）如图，M为边AC上一点，MC=MB．∠ABM=

  π

  2

  ，求△ABC的面积．
  组卷：757引用：14难度：0.5

  解析