2023年江苏省南京市江宁区秦淮中学高考数学质检试卷（一）

一、单选题（每题5分，共计40分）

• 1．设集合P={x∈Z|x²-2x-8＜0}，Q={x|y=ln（3x-x²）}，则P∩Q=（　　）

  A．{0，3}

  B．{1，2}

  C．（0，3）

  D．（1，2）
  组卷：41引用：2难度：0.8

  解析

• 2．复数

  z

  =

  5

  2

  -

  i

  的虚部是（　　）

  A．i

  B． 5 3

  C． 5 3 i

  D．1
  组卷：397引用：4难度：0.8

  解析

• 3．三个数a=

  3

  1

  2

  ，b=（

  1

  2

  ）³，c=log₃

  1

  2

  的大小顺序为（　　）

  A．b＜c＜a

  B．b＜a＜c

  C．c＜a＜b

  D．c＜b＜a
  组卷：298引用：13难度：0.9

  解析

• 4．设a为实数，函数f（x）=x³+ax²+（a-2）x的导数是f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（　　）

  A．y=-2x

  B．y=3x

  C．y=-3x

  D．y=4x
  组卷：137引用：8难度：0.7

  解析

• 5．已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|=4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（　　）

  A． 2

  B． 3

  C．2

  D． 5
  组卷：6410引用：17难度：0.6

  解析

• 6．下列说法中正确的是（　　）

  A．平行向量不一定是共线向量

  B．对于任意向量 a ， b ，必有| a + b |≤| a |+| b |

  C．单位向量都相等

  D．若 a ， b 满足| a |＞| b |且 a 与 b 同向，则 a ＞ b
  组卷：42引用：4难度：0.7

  解析

• 7．已知函数y=cos（

  3

  π

  2

  +

  πx），x∈[

  5

  6

  ，t）（t

  ＞

  5

  6

  ）既有最小值也有最大值，则实数t的取值范围是（　　）

  A． 3 2 ＜ t ≤ 13 6	B．t ＞ 3 2
  C． 3 2 ＜ t ≤ 13 6 或t ＞ 5 2	D．t ＞ 5 2
  组卷：426引用：4难度：0.8

  解析

四、解答题（共计6大题，共计70分）

• 21．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据（x_i，y_i）（i=1，2，⋯，20），其中x_i和y_i分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得

  20

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  =

  80

  ，

  20

  ∑

  i

  =

  1

  y

  i

  =

  4000

  ，

  20

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  =

  80

  ，

  20

  ∑

  i

  =

  1

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  2

  =

  8000

  ，

  20

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  =

  700

  ．
  （1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
  （2）求y关于x的线性回归方程；
  （3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表：
  

  	1年	2年	3年	4年	合计
  甲款	5	20	15	10	50
  乙款	15	20	10	5	50

  根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限（使用年限均为整年），以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算？
  参考公式：相关系数

  r

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  2

  ，对于一组具有线性相关关系的数据（x_i，y_i）（i=1，2，3，⋯，n），其回归直线

  ̂

  y

  =

  ̂

  b

  x

  +

  ̂

  a

  的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

  ̂

  b

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  ，

  ̂

  a

  =

  y

  -

  ̂

  b

  x

  ．
  组卷：197引用：1难度：0.4

  解析

• 22．已知函数f（x）=xe^ax-e^x．
  （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
  （2）当x＞0时，f（x）＜-1，求a的取值范围；
  （3）设n∈N^*，证明：

  1

  1

  2

  +

  1

  +

  1

  2

  2

  +

  2

  +…+

  1

  n

  2

  +

  n

  ＞ln（n+1）．
  组卷：6919引用：15难度：0.2

  解析