2023-2024学年浙江省宁波市五校联盟高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知

  a

  =

  （

  1

  ，

  0

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  x

  ,-

  1

  ，

  2

  ）

  ，且

  a

  •

  b

  =

  3

  ，则向量

  a

  与

  b

  的夹角为（　　）

  A． 5 π 6

  B． π 6

  C． π 3

  D． 2 π 3
  组卷：1032引用：6难度：0.7

  解析

• 2．双曲线

  x

  2

  -

  y

  2

  3

  =

  1

  的渐近线方程是（　　）

  A． y =± 3 3 x

  B． y =± 3 x

  C．y=±3x

  D． y =± 1 3 x
  组卷：888引用：18难度：0.8

  解析

• 3．在坐标平面内，与点A（1，2）距离为3，且与点B（3，8）距离为1的直线共有（　　）

  A．1条

  B．2条

  C．3条

  D．4条
  组卷：71引用：5难度：0.7

  解析

• 4．圆x²+y²=1和x²+y²-8x+6y+9=0的位置关系是（　　）

  A．外离

  B．相交

  C．内切

  D．外切
  组卷：373引用：7难度：0.8

  解析

• 5．若A（7，8），B（10，4），C（2，-4），求△ABC的面积为（　　）

  A．28

  B．14

  C．56

  D．20
  组卷：334引用：3难度：0.8

  解析

• 6．直线l的方向向量为

  m

  =

  （

  1

  ，

  0

  ，-

  1

  ）

  ，且l过点A（1，1，1），则点P（-1，2，1）到l的距离为（　　）

  A． 2

  B． 3

  C． 6

  D． 2 2
  组卷：782引用：6难度：0.7

  解析

• 7．已知点P是椭圆

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  16

  =1上一动点，Q是圆（x+3）²+y²=1上一动点，点M（6，4），则|PQ|-|PM|的最大值为（　　）

  A．4

  B．5

  C．6

  D．7
  组卷：1778引用：8难度：0.5

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁=2，BC=3，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面积为

  10

  +

  2

  13

  ．
  （1）求证：平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁；
  （2）求直线CB₁与平面A₁BC所成角的正弦值．
  组卷：137引用：5难度：0.5

  解析

• 22．已知F₁，F₂分别是椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点，且短轴长为2，动弦MN平行于x轴，且|F₁M|+|F₁N|=4．
  （1）求椭圆E的方程；
  （2）设A，B为椭圆E的左右顶点，P为直线l：x=4上的一动点（点P不在x轴上），连AP交椭圆于C点，连PB并延长交椭圆于D点，试问是否存在λ，使得S_△ACD=λS_△BCD成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
  组卷：97引用：3难度：0.5

  解析