2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．已知三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于点O，若点P到三个平面的距离分别为1、

  2

  ，

  3

  ，则OP的长为

  ．
  组卷：27引用：2难度：0.7

  解析

• 2．设集合A={1，2，3，4}，集合B={x|x=2a-1，a∈A}，则A∩B=

  ．
  组卷：17引用：1难度：0.8

  解析

• 3．若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为

  ．
  组卷：311引用：19难度：0.9

  解析

• 4．已知向量

  a

  =（m,2），

  b

  =（1，1），若|

  a

  +

  b

  |=|

  a

  |+|

  b

  |，则实数m=

  ．
  组卷：221引用：4难度：0.5

  解析

• 5．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=3，AB=5，AD=2，则异面直线AB₁和DD₁的距离为

  ．
  组卷：55引用：2难度：0.5

  解析

• 6．设a＞0，b＞0，若

  3

  是3^a与3^b的等比中项，则

  1

  a

  +

  1

  b

  的最小值是

  ．
  组卷：558引用：70难度：0.7

  解析

• 7．已知球的半径为5，用两个平行平面截球，所得截面面积分别为9π和16π，则这两个平行平面之间的距离为

  ．
  组卷：21引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

• 20．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=m,点M是棱CD的中点．
  （1）求异面直线B₁C与AC₁所成的角的大小；
  （2）是否存在实数m,使得直线AC₁与平面BMD₁垂直？说明理由；
  （3）设P是线段AC₁上的一点（不含端点），满足

  AP

  P

  C

  1

  =λ，求λ的值，使得三棱锥B₁-CD₁C₁与三棱锥B₁-CD₁P的体积相等．
  组卷：141引用：2难度：0.4

  解析

• 21．对于项数为m（m≥3）的有穷数列{a_n}，若|a₁-a₂|≤|a₂-a₃|≤…≤|a_m-1-a_m|，则称{a_m}为“P数列”．
  （1）已知数列{a_n}、{b_n}的通项公式分别为

  a

  n

  =

  n

  2

  （

  1

  ≤

  n

  ≤

  4

  ）

  ，

  b

  n

  =

  （

  1

  2

  ）

  n

  （

  1

  ≤

  n

  ≤

  5

  ）

  ．分别判断{a_n}、{b_n}是否为“P数列”；（只需给出判断）
  （2）已知“P数列”a₁，a₂，…，a₁₀的各项互不相同，且a₁=20，a₁₀=2．若a₁₀，a₉，…a₁也是“P数列”，求有穷数列{a_n}的通项公式；
  （3）已知“P数列”{a_n}是1，2，3，…，m的一个排列（即数列{a_n}中的项不计先后顺序，分别取1，2，3，…，m），且|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_m-1-a_m|=m+1，求m的所有可能值．
  组卷：76引用：1难度：0.1

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