2023-2024学年吉林省长春市农安县高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

• 1．点（1，1）到直线x+y-1=0的距离为（　　）

  A．1

  B．2

  C． 2 2

  D． 2
  组卷：195引用：6难度：0.9

  解析

• 2．若直线l的一个方向向量为（-1，

  3

  ），则它的倾斜角为（　　）

  A．30°

  B．60°

  C．120°

  D．150°
  组卷：517引用：28难度：0.8

  解析

• 3．在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（　　）

  A． OM = 2 OA - OB - OC	B． OM = 1 5 OA + 1 3 OB + 1 2 OC
  C． MA + 2 MB + MC = 0	D． OM + OA + OB + OC = 0
  组卷：514引用：11难度：0.7

  解析

• 4．若椭圆

  x

  2

  9

  +y²=1上一点A到焦点F₁的距离为2，B为AF₁的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：63引用：8难度：0.9

  解析

• 5．已知空间四面体ABCD的每条边长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则

  AE

  •

  AF

  的值为（　　）

  A．a2

  B． 1 2 a2

  C． 1 4 a2

  D． 3 4 a2
  组卷：279引用：23难度：0.6

  解析

• 6．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
  

  A．y=± 3 x

  B．y=± 3 3 x

  C．y=±x

  D．y=±2x
  组卷：200引用：10难度：0.7

  解析

• 7．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

  CA

  =

  4

  2

  ，CB=4，∠BCA=90°，M是A₁B₁的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若

  A

  1

  B

  ⊥

  C

  B

  1

  ，则异面直线CM与A₁B夹角的余弦值为（　　）

  A． 3 7 14

  B． 2 7 7

  C． 7 3 14

  D． 2 3 7
  组卷：29引用：7难度：0.7

  解析

四、解答题：共6小题，共70分。

• 21．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，M，N分别是棱BC，PC的中点，且AB=AC=PA．
  （1）证明：平面AMN⊥平面PAD．
  （2）求平面AMN与平面PAB所成二面角的正弦值．
  组卷：136引用：5难度：0.5

  解析

• 22．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）过点（1，

  3

  2

  ），且长轴长等于4．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F₁，F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若

  OA

  •

  OB

  =-

  3

  2

  ，求k的值．
  组卷：1068引用：34难度：0.3

  解析