2023-2024学年上海市鲁迅中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共12小题，共54.0分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）

• 1．已知集合A={2，3，5}，B={1，5}，则A∪B=

  ．
  组卷：219引用：9难度：0.8

  解析

• 2．已知向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  k

  +

  1

  ）

  且

  a

  ⊥

  b

  ，求实数k=

  ．
  组卷：21引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知复数z满足（

  z

  -2）i=1（i是虚数单位），则z=

  ．
  组卷：284引用：7难度：0.7

  解析

• 4．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点P（3，4），则

  tan

  （

  π

  2

  +

  α

  ）

  =

  ．
  组卷：384引用：7难度：0.7

  解析

• 5．若关于x的二项式（2x+

  a

  x

  ）⁷的展开式中一次项的系数是-70，则a=

  ．
  组卷：313引用：7难度：0.7

  解析

• 6．已知正数a、2b的算术平均值是2，则a、b的几何平均值的最大值为

  ．
  组卷：129引用：6难度：0.8

  解析

• 7．若某圆锥高为3，其侧面积与底面积之比为2：1，则该圆锥的体积为

  ．
  组卷：176引用：7难度：0.6

  解析

三、解答题（本大题共5小题，共78.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

• 20．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
  （1）若建立函数f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f（x）模型的基本要求；
  （2）现有两个奖励函数模型：
  ①

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  150

  +

  2

  ；②f（x）=lnx-2；问这两个函数模型是否符合公司要求，并说明理由？
  组卷：48引用：7难度：0.6

  解析

• 21．已知函数f（x）=x•sinx.
  （1）求曲线y=f（x）在点（

  π

  2

  ，f（

  π

  2

  ））处的切线方程；
  （2）当x∈（-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）时，求证：f（x）≥1-cosx；
  （3）求证：当x∈（0，

  π

  2

  ）时，f（x）-

  1

  3

  tanx=0有且仅有2个实数根．
  组卷：97引用：4难度：0.2

  解析