2022-2023学年江苏省南京一中高二（上）期末数学试卷

一.选择题（共8小题）

• 1．椭圆

  x

  2

  16

  +

  y

  2

  9

  =

  1

  的短轴的长是（　　）

  A．3

  B．4

  C．6

  D．8
  组卷：126引用：6难度：0.9

  解析

• 2．过抛物线y²=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  组卷：831引用：36难度：0.9

  解析

• 3．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若

  1

  a

  1

  +

  1

  a

  2

  +

  1

  a

  3

  =

  2

  ，a₂=2，则S₃=（　　）

  A．8

  B．7

  C．6

  D．4
  组卷：863引用：13难度：0.8

  解析

• 4．若曲线y=a（x-1）-lnx在x=2处的切线垂直于直线y=-2x+2，则a=（　　）

  A．4

  B．3

  C．2

  D．1
  组卷：52引用：3难度：0.7

  解析

• 5．我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”意思是：“某人赠与若干人钱，第一人赠与3钱，第二人赠与4钱，第三人赠与5钱，继续依次递增1钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共赠钱给多少人？”在上述问题中，获得赠与的人数为（　　）

  A．191

  B．193

  C．195

  D．197
  组卷：133引用：3难度：0.7

  解析

• 6．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  2

  sinx

  +

  1

  x

  -

  1

  π

  在区间[-2π，2π]上的大致图象为（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  组卷：170引用：6难度：0.8

  解析

• 7．若双曲线

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的一条渐近线被圆（x+3）²+y²=4所截得的弦长为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，则双曲线的方程为（　　）

  A． x 2 5 - y 2 4 = 1	B． x 2 20 - y 2 16 = 1
  C． x 2 32 - y 2 16 = 1	D． x 2 16 - y 2 32 = 1
  组卷：497引用：4难度：0.6

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四.解答题（共6小题）

• 21．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，右焦点F的坐标为（2，0），且点

  （

  2

  ，

  2

  ）

  在椭圆C上．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
  （Ⅱ）过点F的直线交椭圆于A，B两点（直线不与x轴垂直），已知点A与点P关于x轴对称，证明：直线PB恒过定点，并求出此定点坐标．
  组卷：439引用：4难度：0.8

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• 22．设函数f（x）=x²-a（x+alnx）（a≠0）．
  （1）讨论f（x）的单调性；
  （2）当a＞0时，若f（x）的最小值为0，证明：

  2

  1

  2

  +

  3

  2

  2

  +…+

  n

  +

  1

  n

  2

  ＞ln（n+1）（n∈N*）．
  组卷：176引用：3难度：0.5

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