2010年竞赛辅导:三角形四心竞赛讲义
发布:2024/4/20 14:35:0
一、选择题(共1小题,每小题4分,满分4分)
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1.设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点,若BC=a,AC=b,AB=c,则AH•AD+BH•BE+CH•CF等于( )
组卷:442引用:3难度:0.9
二、解答题(共54小题,满分0分)
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2.已知:△ABC中,XX′,YY′,ZZ′分别是BC,AC,AB边的垂直平分线,求证:XX′,YY′,
ZZ′相交于一点.组卷:120引用:1难度:0.9 -
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ,
求证:△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆.组卷:509引用:3难度:0.1 -
4.如图所示,在△ABC的大边AB上取AN=AC,BM=BC,点P为△ABC的内心,求证:∠MPN=∠A+∠B.
组卷:102引用:1难度:0.9 -
5.AB为半圆O的直径,其弦AF、BE相交于Q,过E、F分别作半圆的切线得交点P,求证:PQ⊥AB.
组卷:157引用:1难度:0.9 -
6.已知:△ABC中,AX,BY,CZ分别是∠A,∠B,∠C的平分线,求证:AX,BY,CZ交于一点.
组卷:83引用:1难度:0.9 -
7.如图所示,在△ABC中,AB=AC,有一个圆内切于△ABC的外接圆,且与AB、AC分别相切于P、Q,求证:线段PQ的中点O是△ABC的内心.
组卷:270引用:1难度:0.5 -
8.如图所示,I为△ABC的内心,求证:△BIC的外心O与A、B、C四点共圆.
组卷:319引用:1难度:0.9 -
9.在圆内接四边形ABCD中,顺次取△ABD,△ABC,△CDB、△CDA的内心O1,O2,O3,O4.求证:四边形O1O2O3O4是一个矩形.
组卷:154引用:1难度:0.9 -
10.△ABC中,I是内心,过I作DE直线交AB于D,交AC于E,且DE∥BC.求证:DE=DB+EC.
组卷:164引用:1难度:0.9 -
11.已知:如图,△ABC中,三边上的高线分别是AX,BY,CZ,X,Y,Z为垂足,求证:AX,BY,CZ交于一点.
组卷:75引用:1难度:0.9 -
12.设H是等腰三角形ABC的垂心.在底边BC保持不变的情况下,让顶点A至底边BC的距离变小,问这时乘积S△ABC•S△HBC的值变大?变小?还是不变?证明你的结论.
组卷:147引用:2难度:0.5 -
13.求证:锐角三角形的垂心H必为其垂足三角形的内心.
组卷:92引用:1难度:0.5 -
14.如图所示,已知△ABC的高AD、BE交于H,△ABC、△ABH的外接圆分别为⊙O和⊙O1,求证:⊙O与⊙O1的半径相等.
组卷:270引用:1难度:0.5 -
15.设G为△ABC的重心,D,E分别为AB,AC边的中点,如果S△ABC=1,那么S△GDE=.
组卷:56引用:1难度:0.7 -
16.已知:△ABC中,AX,BY,CZ分别是BC,AC,AB边上的中线,求证:AX,BY,CZ相交于一点G,并且AG:GX=2:1.
组卷:56引用:1难度:0.7 -
17.已知G是△ABC的重心,过A、G的圆与BG切于G,CG的延长线交圆于D,求证:AG2=GC•GD.
组卷:1176引用:2难度:0.1 -
18.设G是等腰△ABC底边上的高、AD与腰AC上的中线BE的交点.若AD=18,BE=15,则这个等腰三角形的面积为多少?
组卷:43引用:1难度:0.5
二、解答题(共54小题,满分0分)
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55.已知两直线于交Q点,A,B,C是一直线上的三个点,L,M,N是另一直线上的三个点,且QA=AB=BC,LQ=QM=MN.求证:AL,BN,CM三线共点.
组卷:112引用:1难度:0.1
三、填空题(共1小题,每小题5分,满分5分)
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56.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A和∠B的平分线相交于P点,又PE⊥AB于点E,若BC=2,AC=3,则AE•EB=.
组卷:291引用:5难度:0.5