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2010年竞赛辅导：三角形四心竞赛讲义

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）

1．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC=a,AC=b,AB=c,则AH•AD+BH•BE+CH•CF等于（　　）
A．
1
2
（ab+bc+ca） B．
1
2
（a²+b²+c²）
C．
2
3
（ab+bc+ca） D．
2
3
（a²+b²+c²）
组卷：442引用：3难度：0.9
解析

二、解答题（共54小题，满分0分）

2．已知：△ABC中，XX′，YY′，ZZ′分别是BC，AC，AB边的垂直平分线，求证：XX′，YY′，
ZZ′相交于一点．
组卷：120引用：1难度：0.9
解析
3．如图所示，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，
求证：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．
组卷：509引用：3难度：0.1
解析
4．如图所示，在△ABC的大边AB上取AN=AC，BM=BC，点P为△ABC的内心，求证：∠MPN=∠A+∠B．
组卷：102引用：1难度：0.9
解析
5．AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别作半圆的切线得交点P，求证：PQ⊥AB．
组卷：157引用：1难度：0.9
解析
6．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是∠A，∠B，∠C的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点．
组卷：83引用：1难度：0.9
解析
7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，有一个圆内切于△ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：线段PQ的中点O是△ABC的内心．
组卷：270引用：1难度：0.5
解析
8．如图所示，I为△ABC的内心，求证：△BIC的外心O与A、B、C四点共圆．
组卷：319引用：1难度：0.9
解析
9．在圆内接四边形ABCD中，顺次取△ABD，△ABC，△CDB、△CDA的内心O₁，O₂，O₃，O₄．求证：四边形O₁O₂O₃O₄是一个矩形．
组卷：154引用：1难度：0.9
解析
10．△ABC中，I是内心，过I作DE直线交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE=DB+EC．
组卷：164引用：1难度：0.9
解析
11．已知：如图，△ABC中，三边上的高线分别是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ交于一点．
组卷：75引用：1难度：0.9
解析
12．设H是等腰三角形ABC的垂心．在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小，问这时乘积S_△ABC•S_△HBC的值变大？变小？还是不变？证明你的结论．
组卷：147引用：2难度：0.5
解析
13．求证：锐角三角形的垂心H必为其垂足三角形的内心．
组卷：92引用：1难度：0.5
解析
14．如图所示，已知△ABC的高AD、BE交于H，△ABC、△ABH的外接圆分别为⊙O和⊙O₁，求证：⊙O与⊙O₁的半径相等．
组卷：270引用：1难度：0.5
解析
15．设G为△ABC的重心，D，E分别为AB，AC边的中点，如果S_△ABC=1，那么S_△GDE=
．
组卷：56引用：1难度：0.7
解析
16．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是BC，AC，AB边上的中线，求证：AX，BY，CZ相交于一点G，并且AG：GX=2：1．
组卷：56引用：1难度：0.7
解析
17．已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG²=GC•GD．
组卷：1176引用：2难度：0.1
解析
18．设G是等腰△ABC底边上的高、AD与腰AC上的中线BE的交点．若AD=18，BE=15，则这个等腰三角形的面积为多少？
组卷：43引用：1难度：0.5
解析