人教五四新版九年级（上）中考题同步试卷：28.3 二次函数与实际问题（17）

一、解答题（共30小题）

• 1．如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（-2，0）和点C（0，-8）．
  （1）求该二次函数的解析式；
  （2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为

   

  ；
  （3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．
  ①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
  ②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
  ③设S₀是②中函数S的最大值，直接写出S₀的值．
  组卷：747引用：55难度：0.5

  解析

• 2．如图，已知：如图①，直线y=-

  3

  x+

  3

  与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x-k）²+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连接DE、DF、AG、BG．设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和

  3

  个单位长度/秒，运动时间为t秒．
  （1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；
  （2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；
  （3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．
  
  组卷：921引用：53难度：0.5

  解析

• 3．在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线y=mx²-x+n的对称轴是直线x=2．
  （1）求出该抛物线的解析式．
  （2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究：
  ①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，

  PE

  PF

  的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出

  PE

  PF

  的值．
  ②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由．
  
  组卷：777引用：54难度：0.5

  解析

• 4．如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线

  y

  =

  1

  8

  x

  2

  相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．
  （1）求b的值；
  （2）求证：点（y₁，y₂）在反比例函数

  y

  =

  64

  x

  的图象上；
  （3）求证：x₁•OB+y₂•OA=0．
  组卷：1085引用：54难度：0.5

  解析

• 5．如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）上．
  （1）求抛物线的解析式．
  （2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．
  （3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）
  
  组卷：574引用：54难度：0.5

  解析

• 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（-1，-1-m）．
  （1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；
  （2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；
  （3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．
  组卷：713引用：53难度：0.5

  解析

• 7．如图，抛物线y=-

  1

  8

  x²+mx+n经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，3），点C在x轴的正半轴上．
  （1）求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标；
  （2）点E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，求线段OE的长；
  （3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动．设平移的距离为t,正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t,使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
  （4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
  
  组卷：499引用：52难度：0.5

  解析

• 8．如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
  （3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
  
  组卷：761引用：58难度：0.5

  解析

• 9．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，-5）．
  （1）求此抛物线的解析式；
  （2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；
  （3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：940引用：53难度：0.5

  解析

• 10．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点为E，连接CE，点A、B、D的坐标分别为（-2，0）、（3，0）、（0，4）．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连接MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；
  （3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．
  组卷：670引用：54难度：0.5

  解析

一、解答题（共30小题）

• 29．如图，已知点A（0，4），B（2，0）．
  （1）求直线AB的函数解析式；
  （2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x-m）²+n与线段OA交于点C．
  ①求线段AC的长；（用含m的式子表示）
  ②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．
  组卷：513引用：53难度：0.5

  解析

• 30．如图，已知直线y=x与抛物线

  y

  =

  1

  2

  x

  2

  交于A、B两点．
  （1）求交点A、B的坐标；
  （2）记一次函数y=x的函数值为y₁，二次函数

  y

  =

  1

  2

  x

  2

  的函数值为y₂．若y₁＞y₂，求x的取值范围；
  （3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标．
  组卷：429引用：54难度：0.5

  解析