2023-2024学年北京市中国人民大学附中高二（上）期中数学试卷
发布：2024/10/18 19:0:2
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）
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1．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b的位置关系是（ ）
组卷：150引用：2难度：0.4 -
2．空间中点A的坐标是（3，-1，0），若向量
，则点B的坐标是（ ）AB=（2，5，-3）组卷：140引用：1难度：0.5 -
3．一个水平放置的平面图形△OAB用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角△O′A′B′，其中A′B′=，则平面图形△OAB的面积为（ ）10组卷：529引用：5难度：0.8 -
4．已知cos＜
，a＞=-b，则下列说法错误的是（ ）13组卷：114引用：3难度：0.6 -
5．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
组卷：323引用：8难度：0.7 -
6．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，AA1=3，且∠A1AD=∠A1AB=60°，则线段AC1的长为（ ）组卷：212引用：9难度：0.5 -
7．如图，已知大小为60°的二面角α-l-β棱上有两点A，B，AC⊂α，AC⊥l,BD⊂β，BD⊥l,若AC=3，BD=3，CD=7，则AB的长为（ ）组卷：316引用：10难度：0.5 -
8．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（ ）组卷：348引用：10难度：0.7
五、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置.）
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25．点O是正四面体A1A2A3A4的外接球球心，|OAi|=1（i=1，2，3，4）．若
，其中0≤λ1≤1（i=1，2，3，4），则动点P扫过的区域的体积为 ．OP=λ1OA1+λ2OA2+λOA3+λOA4组卷：33引用：1难度：0.5
六、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）
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26．已知自然数集A={1，2，3，⋯，n}（n∈N*），非空集合
．若集合E满足：对任意a∈A，存在ei，ej∈E（1≤i≤j≤m），使得a=xei+yej，x,y∈{-1，0，1}，称集合E为集合A的一组m元基底．E={e1，e2，⋯，em}⊆A（m∈N*）
（1）分别判断下列集合E是否为集合A的一组二元基底，并说明理由：
①E={1，2}，A={1，2，3，4，5}；
②E={2，3}，A={1，2，3，4，5，6}．
（2）若集合E是集合A的一组m元基底，证明：n≤m（m+1）；
（3）若集合E为集合A={1，2，3，⋯，19}的一组m元基底，求m的最小值．组卷：50引用：2难度：0.5
