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2023-2024学年北京市中国人民大学附中高二(上)期中数学试卷

发布:2024/10/18 19:0:2

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.)

  • 1.已知平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则a与b的位置关系是(  )

    组卷:150引用:2难度:0.4
  • 2.空间中点A的坐标是(3,-1,0),若向量
    AB
    =
    2
    5
    ,-
    3
    ,则点B的坐标是(  )

    组卷:140引用:1难度:0.5
  • 3.一个水平放置的平面图形△OAB用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角△O′A′B′,其中A′B′=
    10
    ,则平面图形△OAB的面积为(  )

    组卷:529引用:5难度:0.8
  • 4.已知cos<
    a
    b
    >=-
    1
    3
    ,则下列说法错误的是(  )

    组卷:114引用:3难度:0.6
  • 5.一个三棱锥的各棱长均相等,其内部有一个内切球,即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部,且球与三棱锥的各面只有一个交点),过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面,所得截面图形是(  )

    组卷:323引用:8难度:0.7
  • 6.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,其中AB=2,AD=4,AA1=3,且∠A1AD=∠A1AB=60°,则线段AC1的长为(  )

    组卷:212引用:9难度:0.5
  • 7.如图,已知大小为60°的二面角α-l-β棱上有两点A,B,AC⊂α,AC⊥l,BD⊂β,BD⊥l,若AC=3,BD=3,CD=7,则AB的长为(  )

    组卷:316引用:10难度:0.5
  • 8.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全一样的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器(容器壁的厚度忽略不计),则该球形容器表面积的最小值为(  )

    组卷:348引用:10难度:0.7

五、填空题(共3小题,每小题5分,共15分,把答案填在答题纸上的相应位置.)

  • 25.点O是正四面体A1A2A3A4的外接球球心,|OAi|=1(i=1,2,3,4).若
    OP
    =
    λ
    1
    O
    A
    1
    +
    λ
    2
    O
    A
    2
    +
    λ
    O
    A
    3
    +
    λ
    O
    A
    4
    ,其中0≤λ1≤1(i=1,2,3,4),则动点P扫过的区域的体积为

    组卷:33引用:1难度:0.5

六、解答题(本小题15分,解答应写出文字说明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸上的相应位置.)

  • 26.已知自然数集A={1,2,3,⋯,n}(n∈N*),非空集合
    E
    =
    {
    e
    1
    e
    2
    e
    m
    }
    A
    m
    N
    *
    .若集合E满足:对任意a∈A,存在ei,ej∈E(1≤i≤j≤m),使得a=xei+yej,x,y∈{-1,0,1},称集合E为集合A的一组m元基底.
    (1)分别判断下列集合E是否为集合A的一组二元基底,并说明理由:
    ①E={1,2},A={1,2,3,4,5};
    ②E={2,3},A={1,2,3,4,5,6}.
    (2)若集合E是集合A的一组m元基底,证明:n≤m(m+1);
    (3)若集合E为集合A={1,2,3,⋯,19}的一组m元基底,求m的最小值.

    组卷:50引用:2难度:0.5
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