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2022-2023学年福建省泉州科技中学高一（下）期中数学试卷

发布：2024/5/6 8:0:9

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1．已知
cosθ
=
2
3
，则
sin
（
2
θ
+
π
2
）
=（　　）
A．
-
1
9
B．
1
9
C．
-
8
9
D．
8
9
组卷：459引用：2难度：0.8
解析
2．已知向量
a
=（2，4），
b
=（-1，1），则2
a
-
b
=（　　）
A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）
组卷：3981引用：69难度：0.9
解析
3．下列等式不成立的是（　　）
A．
cos
2
15
°
-
sin
2
15
°=
3
2
B．
sin
π
8
cos
π
8
=
2
4
C．
1
2
sin
40
°
+
3
2
cos
40
°=
sin
70
°
D．
tan
15
°=
2
-
3
组卷：63引用：1难度：0.6
解析
4．为了得到函数
y
=
cos
（
2
x
+
π
3
）
的图象，只要把y=cos2x的图象上所有点（　　）
A．向左平移
π
6
个单位长度 B．向右平移
π
6
个单位长度
C．向左平移
π
3
个单位长度 D．向右平移
π
3
个单位长度
组卷：48引用：2难度：0.7
解析
5．已知单位向量
a
，
b
满足
|
2
a
-
b
|
=
2
3
a
•
b
，则向量
a
，
b
的夹角为（　　）
A．
2
π
3
B．
π
2
C．
π
3
D．
π
4
组卷：138引用：3难度：0.8
解析
6．已知cos（α-β）=
5
5
，cos2α=
10
10
，α∈（0，
π
2
），β∈（0，π），且α＜β，则α+β=（　　）
A．
π
4
B．
3
π
4
C．
5
π
6
D．
5
π
4
组卷：192引用：2难度：0.8
解析
7．如图，已知两个模都为10的向量
OA
，
OB
，它们的夹角为
π
2
，点C在以O为圆心，10为半径的
ˆ
AB
上运动，则
CA
•
CB
的最小值为（　　）
A．
100
-
100
2
B．-100 C．
100
2
-
100
D．
-
100
2
组卷：130引用：4难度：0.6
解析

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四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：
△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC=40m,
BC
=
40
3
m
，AC⊥BC，∠MCN=30°．
（1）若AM=20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；
（2）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？
组卷：162引用：9难度：0.6
解析
22．如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
（1）求|
AB
|；
（2）已知点D是AB上一点，满足
AD
=λ
AB
，点E是边CB上一点，满足
BE
=λ
BC
．
①当λ=
1
2
时，求
AE
•
CD
；
②是否存在非零实数λ，使得
AE
⊥
CD
？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
组卷：567引用：20难度：0.1
解析